走进学生数学问题解决的内心世界——一道高三数学模考试题的教学思考

■云南省大理第一中学　王永生



走进学生数学问题解决的内心世界——一道高三数学模考试题的教学思考

■云南省大理第一中学王永生

题目（2014年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科第20题）已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于点M，E（x0，0）是x轴上的点，直线l经过点M且与抛物线C交于A、B两点.

（Ⅱ）设A、B都在以点E为圆心的圆上，求x0的取值范围.

此题以具体的抛物线为背景，考查点与圆、直线与抛物线位置关系相关的证明问题和范围问题.

应当说，这只是解析几何的常规问题.可笔者所教班级的平均得分只有2.05分（满分为12分）.作为已完成第一轮全面复习，学生已掌握基本知识，初步具备一定能力的情况下，这样的得分确实有些低.为此，笔者通过访谈和对学生的卷面答题情况进行具体分析后归纳出以下几种原因：

（1）一直都不敢做解析几何题，认为它太难，没分配好时间，等开始做该题时，时间已所剩无几；

（2）求错点M的坐标；

（3）不能理解点E在以线段AB为直径的圆上；

（4）难以准确表达A、B都在以点E为圆心的圆上；

（5）不能明确条件A、B都在以点E为圆心的圆上对求x0的取值范围有何作用.

以上原因中，除（1）属非智力因素外，其他四点都与学生的数学问题表征能力有很大关联.

问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程.［1］

数学问题表征能力是指准确表征数学问题的程度.这种能力的高低决定着学生对数学问题的理解程度，也决定着学生解题能力的发展水平.［2］

数学问题的解决过程就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程.其认知过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控.［3］由此可见，问题表征的正确性是学生解决数学问题的基本前提.

数学问题的有效解决常常依赖于对问题的适宜表征，不同的表征产生不同的解题方法，也就有不同的要求和难度，适宜的表征可以减少运算量，缩短思维过程.因此，准确、适宜的问题表征成为数学问题解决的关键.［4］

可见，导致该题学生得分较低的主要原因还是数学问题表征能力的低下.借对此题进行试卷讲评的契机，笔者就对高三学生进行数学问题表征能力的培养进行了尝试.

一、表征表达，尝试多元，力求准确

“有研究表明，正确的表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解.”［5］要使表征准确，就得先弄明白问题的表征形式.问题表征从形式上可分为“内在表征”和“外在表征”两种.内在表征是指学习者将外在的问题信息转化为头脑中内在的命题形式，其外在的表现就是学习者能用自己的语言陈述问题的条件和目标；外在表征是指将问题以文字、符号、图形、图表、模型等具体形式表示出来.其外在表现常见形式为语言表征、符号表征、图形表征和情境表征等.结合解析几何问题的特点，在课堂教学中应多注重引导学生把握表征取向，加强问题表征的多元表达训练，从而提高问题表征的准确性.

讲评时，为能引导学生正确理解题意，对第（Ⅰ）问，笔者从条件出发，以三种形式进行了表征表达，具体内容见表1所示.

表1：第（Ⅰ）问条件的语言表征与符号表征对照表

据此可得题目的图形表征，如图1所示.

图1

通过读题，将问题所给文字进行重新组合，形成准确的语言表征，进而为正确实现将语言符号化打下了坚实的基础，同时对整体完成图形表征创造了必不可少的条件.

学生之所以害怕解析几何题，其根本原因还是在于缺乏对问题表征的表达能力，不会进行多元表征，从而不能实现对问题进行准确表征.当然，也就不可能求得问题的正确解.可见，教师要善于引导学生进行多元表征，加强问题表征的表达训练，进而提高问题表征的准确性.

二、展示表征，通过探讨，寻求适宜

通过对前面的表征表达，实现了对条件的正确理解.当面对要证明的结论时，由于思维能力不同，学生仍会形成多种不同的表征，有些表征正确，但对问题的求解不够适宜，而有些表征本来就不正确，当然也就必然会导致解题失败.为此，有必要在讲评时展示学生问题表征的思维过程，和学生一道共同探讨问题表征的适宜性.

对第（Ⅰ）问的结论，要证明“点E在以线段AB为直径的圆上”.笔者在阅卷过程中收集整理了几种学生在考试时所采用的表征.如图2所示，设以线段AB为直径的圆的圆心为C.几种不同的表征形式可列表，如表2所示.

图2

表2：第（Ⅰ）问结论的几种不同表征形式

表征1是多数学生最先想到的表征形式，可是在问题解决过程中需要先求圆的方程.

设A（x1，y1），B（x2，y2），代入方程组可求出A、B两点的坐标，也可以不求而采用韦达定理求解.当然，还可直接由人教版普通高中课程标准实验教科书数学（必修2）第124页习题4.1A组第5题的结论可得此圆的方程是（xx1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，对后面判断点E是否在这个圆上，此教材第119页的例1作了示范.应当说学生还是比较熟悉和认可这种表征形式下的问题解决.

表征2由中点坐标公式可求出点C的坐标，然后可由两点间距离公式求出|EC|，再由弦长公式求得|AB|，从而完成证明.虽然思维量小，可计算量相对较大，而且还依赖于要记准相应公式，当然这些公式都是要求学生需要熟练掌握的.

表征3使用学生相对较少.可事实上，对方程（*）由韦达定理，得x1+x2=6，x1·x2=1，于是所以

应当说“在圆中，直径所对的圆周角是直角”这一结论学生并不陌生，而利用向量这一工具来解决解析几何问题学生还是不适应的.

以上三种表征形式下问题的解决，很难说哪种对学生相对适宜，这得由学生的知识结构和数学能力来决定.通过展示和分析表征的思维过程，可以在一定程度上提升学生运用所掌握的知识解决问题的能力.当然，对一些错误的表征，应和学生一道共同进行辨析、讨论，甚至在争论中进行调整、修改和完善，使其逐步形成合理的表征.

不同学生的知识结构和表征能力都会有所不同.在课堂教学中，教师要为学生创设展示和交流的平台，使学生能够充分暴露表征的思维过程，通过探讨使学生自觉调整、修正和完善思维过程，并通过借鉴同学的思考，从而最终寻求到适宜的表征.

三、重新表征，通过迁移，实现灵活

问题表征的方式具有多样性.“一般情况下，人们总是用给定的表征形式解决问题，如问题以文字形式出现，解题者往往也倾向于用言语方式解决问题.”［6］但当给定的表征方式不利于问题解决时，解题者就需要寻求新的、更有效的表征方式.新的表征方式主要是通过选择与转换来实现.表征选择是一个信息分析、关系提炼的认知过程；而表征转换则是对已有的信息数据的再加工、精加工的认知加工过程.［6］

可见，在问题解决过程中，如果最初的表征形式不利于或难以解决问题时，应及时进行表征选择或转换，从而能够达到快速准确地解决问题.这在一定程度上体现了问题表征的灵活性.

第（Ⅱ）问要求x0的取值范围.由题意可知直线l的斜率存在，不妨设为k，则k≠0.由方程组得k2x2+ 2（k-2）x+k2=0.因为直线l与抛物线C交于A、B两点，所以Δ＞0⇔4（k2-2）2-4k4＞0⇔k2＜1，所以0＜k2＜1.

由此可知，只要找到x0与k2之间的函数关系式即可.这就只能由唯一的条件“A、B都在以点E为圆心的圆上”获得.此时，对其表征形式的选择就显得尤为重要.容易想到，由此可得|EA|=|EB|，但其运算相对较繁，为此应寻求表征转换，从而尽可能使运算量减小.

第（Ⅱ）问作答的学生相对较少，更是鲜有学生能最终完成作答.这其中的原因较多，但与学生问题表征的选择与转换能力有很大的关联.当笔者与学生一起完成上面的解答时，学生感触颇多，一致认为，不是不会做，而是根本就没想到.而没想到的根本原因还是数学问题表征的灵活性缺失，特别是难以甚至不能根据问题解决的需要进行表征的合理选择和转换.而这正是数学问题表征能力的集体体现.

通过对这道模考题的具体分析，不难看出，数学问题表征能力是学生数学的核心能力之一.学生对题目的表征错误或缺失都会在极大程度上影响解题的整个过程.因此，在平时的解题教学中，应充分重视学生数学问题表征能力的培养.为此，要走进学生数学问题解决的内心世界，可在教学中尝试做好以下三个方面的工作：［7］

一是引导学生多积累知识，形成一定的知识结构，为实现学生对数学问题的正确理解和表征奠定坚实的基础.

二是为学生创设交流与展示的平台，通过暴露学生问题表征的思维过程，引发学生进行思维的交锋，使学生学会结合自身知识结构进行调整、修改和逐步完善数学问题的表征形式，从而最终实现数学问题表征的适宜性，而这恰恰是数学问题解决的关键.

三是注重学生元认知能力的开发，指导学生在解题过程中有效监控解题过程，当发现先前的表征方式效率不高时，应及时重新进行表征的选择与转换，并最终实现快速准确解决问题.

以上三个方面相互关联，层层递进.在教学过程中，应有目的、有计划地加以实施，并有针对性地加强学生掌握有效问题表征的训练，从而提高学生的数学问题表征能力.

参考文献：

1.胥兴春，刘电芝.问题表征方式与数学问题解决的研究［J］.心理科学进展，2002（3）.

2.张玫.降低解题的门槛，提高得分的能力——谈高中生数学问题表征能力的培养［J］.数学之友，2014（8）.

3.喻平.数学学习心理的CPFS结构理论［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

4.王林全，吴有昌.中学数学解题研究［M］.北京：科学出版社，2009.

5.傅小兰，何海东.问题表征过程的一项研究［J］.心理学报，1995（2）.

6.杨小冬，方格，毕鸿燕，等.非空间问题中运用空间表征策略的研究综述［J］.心理科学，2001（1）.

7.殷伟康.培养学生数学问题表征能力“三部曲”［J］.中学数学（上），2013（7）.F