切中肯綮，让常态复习课不“常态”*

■江苏省天一中学　孙承辉



切中肯綮，让常态复习课不“常态”*

■江苏省天一中学孙承辉

*本文是江苏省无锡市教育科学“十二五”立项课题“高中数学教师专业能力提升的有效策略研究”（课题编号C/D/2014/001）的阶段研究成果．

一、问题的提出

高三数学复习课的重点是对基础知识、基本技能及基本思想方法进行系统梳理，帮助学生夯实基础和构建知识体系，提升学生解决问题的能力．正是基于这样的认识，笔者所在学校创设了“常态课”教学研讨系列活动．

从高三一轮复习开始，学校的常态课按照“确定课题、自主备课、课堂展示、深入研讨”的流程运行，笔者虚心学习了备课组内许多老师开设的常态课，收获良多，故而结合一些案例，汲取其中精华，提炼出使常态复习课不“常态”的若干切中肯綮之举，以期与同行探讨交流．

二、常态课不“常态”的若干策略

（一）精心梳理知识要点，让知识结构网络化

一轮复习课的特点之一就是教师要对学过的基本概念、定义和公式等数学知识进行全面地梳理，将知识进行系统化整理．知识梳理的方式有很多，如教师口头讲述，或师生一问一答，或学生课前主动回忆，等等．显然，不同的梳理方式也将产生不同的教学结果．

案例1借助导学案梳理课本知识

L老师布置学生在课前仔细阅读教科书，并完成导学案上的以下内容：

（1）两个非零向量的夹角的定义：_________，向量夹角的取值范围：_________．

（2）平面向量数量积的定义、坐标表示及性质：

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为向量a，b的夹角．

几何表示　坐标表示数量积　a·b=_________　a·b=_________ 模|a|=_________　|a|=_________夹角　cosθ=_________　cosθ=_________ a⊥b　_________　_________

（3）平面向量数量积的运算律：

①交换律：_________；②数乘结合律：_________；③分配律：_________．

教学过程中，L老师用实物投影仪展示某个学生的填写情况，逐条讲解知识要点，在复习两个非零向量的夹角的定义时他结合所画图形强调“将两向量平移使得它们的起点相同”，学生们在导学案上及时修改错误的填写内容并做笔记．

评析：L老师在知识梳理阶段注重回归课本，让学生带着问题去阅读教科书并主动寻找答案．在内容的展现形式上，他用简明的图表把“平面向量的数量积”的基础知识进行有机的串联，同时突出了数量积的几何表示和坐标表示的区别与联系，可谓简明扼要．

因此，教师只有立足教材，紧扣考试说明，做到知识梳理的系统化、具体化，才能帮助学生建构清晰的知识网络，也才能让学生对知识做到真正的融会贯通．当然，知识梳理的方式多种多样，教师在具体操作时应根据教学内容做到灵活多变．

（二）注重通性通法教学，让解题思路自然化

高三复习课离不开解题教学，不可否认，有些课过于注重例题和习题的数量，认为所讲题目越多覆盖面越广，或者过于注重解题的技巧，认为这些新颖的技巧会大大增加学生的解题能力．然而，随着题目数量增大、技巧增强，不少学生在遇到新题目时会感到犹豫不定，无从下手，反而失去了解题的信心.所以，在复习课上教师应该精选例题，侧重通性通法的教学，授之以最具实效价值的“渔”.

案例2圆锥曲线中离心率的求值（或范围）问题

首先，G老师投影了以下两道填空题：

图1

然后，G老师画图，请学生说出解题思路和过程，边分析边求解.以第（2）小题为例，学生对“等腰△PQM的顶角∠PMQ＞90°”提出了多种转化方式，如MP2+MQ2＜PQ2，等.经过分析比较，最终选择了取线段PQ的中点A（如图1所示），由∠PMQ＞ 90°可知，∠AMQ＞45°，故在Rt△MAQ中，即又b2=a2-c2，因此，即1＜0，结合e∈（0，1），解得

最后，G老师归纳：①求圆锥曲线离心率e的值，关键是找到参数a，b，c之间的等量关系，最后解方程求出e的值；②求圆锥曲线离心率e的取值范围，关键是找到参数a，b，c之间的不等关系，最后解不等式求出e的取值范围.

评析：圆锥曲线的离心率问题一直是考试的热点题型，教师选择了两道典型的填空题，在师生互动中展示了题目的分析和求解过程，重点研究如何从图形中挖掘几何元素的关系，以及如何对题目中的条件进行转化，从而建立恰当的等式或不等式.比如第（2）小题，解决本题的核心是要将等腰△PQM的顶角∠PMQ＞90°转化为∠AMQ＞45°，从而在直角△AMQ中，建立起直角边MA和斜边MQ之间的不等关系

“通性通法是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法.”“通性通法是数学发展的基石，是数学教育的核心，是数学学习的主要内容之一.”［1］因此，高三的复习课要通过对典型例题的剖析来体现解决某一类问题的通性通法，也可以将若干个相关问题构成微专题，简洁明了地展现解决问题的知识链和方法链.

（三）适度开展变式教学，让思维能力全面化

高三复习课开展变式教学主要是把常见的题型作一些适当的变化，在变与不变的差异中对题型的本质获得清晰的认识，同时让学生对基础知识和通性通法有更深层次的思考.从实际效果来看，适度的变式教学可以充分激发学生的学习兴趣和热情，让学生的思维能力得到全面发展，也能有效地帮助学生积累解决问题的经验以及增强解决其他问题的信心.

案例3任意性与存在性问题的分类解析

W老师先给出一道例题：

解答完例题后，W老师给出了以下变式题：

①若∃x1∈［0，1］，∃x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是_________.

②若∀x1∈［0，1］，∀x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是_________.

③若∃x1∈［0，1］，∃x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是_________.

④若∀x1∈［0，1］，∃x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是_________.

然后回顾了这类任意性与存在性问题的题型与转化方法：设函数f（x）、g（x）在给定范围内都存在最大值与最小值，值域分别为A与B.

①∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等价于_____.

②∃x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）=g（x2），等价于_____.

③∀x1∈D1，∀x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于_____.

④∃x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于_____.

⑤∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于_____.

……

最后，W老师布置了一道思考题留给学生课后探究：

评析：任意性和存在性问题是近几年高考的热点问题，这类题型富于变化和新意，解决之道是揭开全称量词和存在性量词的神秘面纱，还原问题的本来面目．在上述案例中，W老师从一道典型例题出发，重点剖析其解法要点，然后一题四变，在变式题的解答过程中揭示了这类问题的解题规律，即转化为比较两个函数的最值之间的大小关系．W老师布置的课后探究题是本节课内容的拓展和延伸，有助于学生进一步加深对这类问题的理解程度．

由此可见，在变式教学过程中，教师要通过若干道变式题，以点带面，着重分析题与题之间的差异，以及这些差异所导致的解题方法的变化，让学生学会去甄别，从而全面地认识题型的本质．同时，教师要充分利用课堂的黄金时间，开展深层次的师生对话和生生互动，找准解决变式题的切入点，这样可以提高学生分析问题的能力，同时从时间和空间上提升课堂教学的品质．

当然，实施变式教学时要厘清核心主线，变式题切忌广而散，因此，教师在课前“必须厘清楚过程的‘序’，使得教学主线有明确的方向，避免课堂上过多地发散，使学生思维发生混乱，从而发生迷失现象．”［2］

（四）积极渗透思想方法，让数学素养优质化

数学思想方法是数学的灵魂．高三复习课不仅要注重师生对例题的探究与互动，也要注重合理渗透思想方法，培养学生的数学素养和创新思维．教师可以安排适当有度的综合题目，这里的“适当有度”指的是题量适当、难度适中、有一定的思维深度，这些练习题一方面可以反馈学生对知识的理解运用程度，另一方面也可以拓展学生的思维能力，感悟数学思想方法在解题中的应用．

案例4讲评综合卷的教学片段

在讲评一份综合卷时，S老师把下列两道错误率较高的试题一起讲解．

（试卷第9题）已知数列{an}的通项公式为若对任意n∈N*，都有an≥a3，则实数c的取值范围是_________．

（试卷第13题）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，向量c满足（a－c）·（b－c）=0，则|c|的最大值为_________．

讲评过程中，S老师请学生说解题时的想法、思路，

然后在师生的共同分析下，完善了上述两道题的解答过程．然后，S老师指出，解决它们的关键是熟练运用数形结合思想，即根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题．最后，通过以下一道练习题来加以巩固和反馈：已知数列{bn}的通项公式为bn=，若对任意n∈N*，都有bn≥b8，则实数a的取值范围是_________．

评析：S老师在试卷讲评课上体现了讲练结合，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，由于选例恰当，学生在个别题目的解法上出现了一题多解，这时S老师把这些解法进行对比，实现一题优解．在诸多解法中，他尤其突出了数形结合的思想，即通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．而且，S老师在解决向量模的取值范围这类综合问题中突出了数形结合、等价转化、等数学思想方法，这让学生体会到思想方法在解决问题过程中的价值．

难能可贵的是，教师在试卷讲评前对错误率较高的题目进行集中归类，尤其是把相同数学思想方法的试题合并串讲，“便于学生对这一块知识或某个方法产生强烈感受，对某个方面起到强化的功能．”［3］从数学思想方法的角度将相关题目连珠成线，这不仅提高了讲评课的教学效率，而且极大地加深了学生思维的深刻性，有助于促进学生将知识转化为自身的数学能力和综合素养．

三、结束语

高三的复习课只要坚持以教师为主导、学生为主体，在精编导学案的前提下，采取富有实效的知识梳理策略，突出通性通法教学，适度开展变式教学，积极合理地渗透思想方法，高屋建瓴，就能高效地突出重点、化解难点，充分培养学生提出问题和解决问题的综合能力，这些便是让高三常态复习课不“常态”的举措．

参考文献：

1.王金才．数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识［J］．数学通报，2011（11）．

2.李善良．理清核心主线优化教学过程［J］．中学数学月刊，2011（10）．

3.孙福明．试卷讲评要贴“生”进行［J］．数学通报，2012（4）．Y