开放教学———“理”大于“算”———《三角形的面积计算》课堂片断及反思

林　玲

【教学内容】

浙教版五年级上册第76页。

【教学目标】

经历寻找及说明相等面积的三角形的活动，进一步理解和掌握三角形的面积计算方法，强调空间观念的发展和逻辑推理能力的培养。

【教学重点、难点】

发现等底等高的三角形的面积相等。在组合图形里找到三角形的底和高。

【教学过程】

小环节1：创造学习材料

图1

师：如果从7个顶点里任选3个，用线段依次连接起来，可能得到什么图形？

生：三角形。

师：你们怎么知道是个三角形呢？怎么想？

生：不在同一条直线上的三个点相连，连出三角形。

生：如果将同一条直线上的三个顶点用线段依次连接起来，会是一条线段。

师：同学们的空间想象能力真不错！

师：任选三个顶点，用线段依次连接，可以画出很多不同形状的三角形。大家一起动手试试。

（学生将画好的作品贴到黑板上，要求一种形状的三角形只贴一个）

小环节2：寻找面积相等的三角形

师：如果大正方形的边长是8，小正方形的边长是4，哪些三角形的面积最容易求出来？

生：（指着图8）这种在小正方形里的三角形面积最好算。小正方形的边长是4，4乘4得16，小三角形的面积是它的一半，16除以2等于8。

师：刚才他是求出小正方形面积的一半，你还有其他方法吗？

生：因为三角形的面积等于底乘高除以2，这个三角形的底和高都是小正方形的边长4，所以用三角形公式也能求出。

生：（将图2、图3与图8移到一起）这些三角形正好占小正方形面积的一半，它们的面积都相等。

师：（圈画图2、图3和图8）关于这一类，你还有什么疑问吗？

……

师：（拿出图6）哪个图形的面积与它相等呢？

生：图4中三角形的面积与它是相等的。我们可以看到这两个大三角形的面积都是大正方形面积的一半，所以他们的面积是相等的。

生：我有补充。图5和图7与它们也是相等的。（学生到黑板将图4、5、6、7移到一起）大家看！要判断这几个三角形的面积是否相等，是不需要计算的。因为涂色部分不涉及小正方形，我们可以不看小正方形，剩下大正方形部分，通过旋转或者翻转，完全重合，从而可以得知它们的面积相等。

师：不“算”，从“形”上思考面积，很有特色，值得我们学习。

生：还有图9中三角形的面积也与它们相等。

师：哦，又有新发现。理由？

生：我用拼组的方法，发现它的面积也是大正方形面积的一半。

师：是不是只能用拼的方法才能求得这个三角形的面积呢？

生：我们可以看到图 4、5、6、7中三角形的底和高都是8，图9中三角形的底是大正方形的一条边，而高与正方形的另一边平行，也是8厘米。底和高的数据都一样，面积肯定相等。

师：（递上尺子）请在图上画出高。

生：（一边作高，一边说）因为这5个三角形的底和高都是8，所以面积相等。

师：真会思考！同学们有用拼组的方式求出三角形面积的，也有从找底和高的方式来获取面积的。

生：我们发现等底等高的三角形面积相等。

师：黑板上还有好多的图呢！大家在画图时，老师也画了（出示图16）。请你在剩余在三角形中找出与图16三角形面积相等的图形。

图16

生：（指着图16和图10）两个三角形的高对着大正方形的边长是8，底是小正方形的边长4，所以推算出这两个三角形的面积相等。谁还有补充？

生：我有疑问，你怎么知道这个钝角三角形的高就是大正方形边呢？

生：这两个三角形的底都是4很容易看出，而高呢？我们需要画一画。

师：把尺子给你，画一画标上数据，会更有说服力。

生：（给图16中钝角三角形作高）这两个三角形的底都是4，高都是8，所以面积相等。

师：刚才是通过找底和高，来确认了三角形的面积。还有吗？

生：我又找到了两个，它们的底都是4，高也都是8，所以面积与上面两个三角形的面积相等。

师：同学在找面积相等的三角形时，关注的点在哪？

生：底和高。

师：等底等高的三角形面积相等。

……

【教学反思】

一、开放自主的学习材料

本题中，从7个顶点里任选3个，用线段依次连接起来，一共有35种图形情况：其中2种是在同一直线上的，另33种则连接出一个三角形。先让学生预想图形，发展空间想象能力，再引导他们动手绘制，帮助更多的学生完善图形的表象，感性认识图形的构成方式。从课堂即时生成的作品中选取进一步研究的材料，极大地激发了学生主动参与学习的热情。

二、开放有序的交流空间

本课全班共绘制生成了14种不同的三角形，观察与计算这些三角形的面积有难有易。教师的教学责任一是通过有意识地提出一些问题来沟通这些学习材料，挖掘面积计算中更为本质的内容；二是组织不同层次的学生通过相互的交流各有所得，各有提高。交流主要分两步：首先，让学生找出比较容易计算面积的三角形。一方面可以让学习能力较弱的学生，有一个认知和情绪上的缓冲；另一方面，这是进一步活动的基础，借助这些构造极为简单的三角形，学生可以知道三角形面积推理的基本方法——对应底高和图形变换。进而，聚焦“找面积相等的三角形”，学生相互补充、相互质疑、相互解释，在层层递进的对话中，个体的思考丰富了群体的认识，而群体的认识又反过来使个体的思考走向明晰和自觉。

三、开放有效的问题解决

“找面积相等三角形”的方法很多，完全可以通过逐个计算、比较数值来解决，但这样做，机械执行三角形面积计算法则的成分高，思考与辨析的成分低。“新思维”数学的几何教学，重视在动态变换的过程中发展学生的空间观念。这对学生形成了挑战，而正因为有挑战，学习才有增量。本课既鼓励学生寻求不同的解题策略，又有意识地引导和强化图形变换这一角度，提倡“推理”重于“计算”，使学生对于三角形的图形分析和面积计算趋向灵活，在灵活的基础上达到更深层次的理解和掌握。