结论非王道，解题需灵活

蒋红雅

摘 要：数学是有规律的，它往往可以分门别类，可以归纳结论；数学是灵动的，它往往变动不居，需要领悟真谛.数学教学中教师们往往对结论归纳甚为上心，学生们往往对结论应用乐此不疲. 但这却不能真正欣赏数学的美丽，因为结论应用只是虚有其表，领悟真谛才是王道.

关键词：结论；灵活；对比；矛盾；反思

数学学科是一门具有规律性的学科，它所包含的种种问题往往可以分门别类，对于每一类的问题通常会存在一个与之对应的结论，这给数学教学带来了方便：学生解题时，往往是结论的套用. 但事实是，这样的教学是死板的，缺乏灵动的，因为数学的美丽就在于它的灵动性.每道题看似与一个结论对应，但它却有自己的特殊性，死套结论只能解决一些问题，却不能领略数学的真谛. 文章以一道恒成立问题及其变式的解题反思来论证：结论非王道，解题需灵活.

对比：结论增加难度，本质轻松化解

众所周知，在数学中有一类恒成立的问题，针对不同的表达形式，可以分割成好几类：有函数与参数比较大小恒成立的，有函数与函数比较大小恒成立的. 每种类型问题下都有与之对应的结论，例如：函数与参数比较恒成立的结论就有：“若g（x）>k在x∈H上恒成立，则g（x）min>k”；若g（x）﹤k在x∈H上恒成立，则g（x）max

反思：反观上述解题过程，其复杂程度可见一斑：首先，它利用知识点交叉综合使用，题目综合运用了分类讨论、参变分离、求导等数学方法；其次，也是更重要的一点是，此法用了高中内容不要求的二次求导. 显然，这并不是一般学生所能接受的.

部分的图象，而y=kx是一条过原点的直线，所以只需保证在[0，1]上y=kx图象在y=sin图象下方即可.

通过图象可以发现当直线位于k位置（直线位于二、四象限）时成立，当直线转动到一、三象限时，直线k2（斜率为1）是临界位置，超过此位置直线会存在处于三角函数上方的部分，因此直线k的取值范围为k≤1.

反思：通过数形结合，将符号表达式转化成函数图象的位置关系，是抓住了本问题的实质，从计算量看，数形结合比较结论计算少得太多，而这恰恰应当是问题计算本然的面貌. 因此不是本质减少了计算量，而是结论增加了复杂性.

矛盾：结论陷入围城，真谛与之解围

透过上述例题可以发现，生硬的套用结论增加了问题的难度，而有时生硬的套用结论还会将结论关入围城，让问题与结论产生“冲突”. 例如上述例题仅仅需要将不等号的方向转换一下，恒成立的结论就不再适用了.

例 当0≤x≤1时，不等式sin≤kx恒成立，则实数k的取值范围是多少？

相似的题目，相似的思路，在解决问题时，按照结论的套路：

①当x=0时，k∈R.

②当x∈（0，1]时，转化为：k≥，可记f（x）=，即求k≥f（x）max，根据上述解题过程不难发现函数f（x）在（0，1]上单调递减，而函数f（x）=在零处无意义，无法取得最大值. 在高中学生现有的知识范围内，结论就与问题产生了矛盾：要求k不小于函数的最大值，而函数的最大值却不存在.

其实，求函数f（x）最大值的实质是高等数学中，这是一种求型的极限值，其处理方式是洛必达法则，对分子、分母同时求导即==，所以k≥f（x）max=. 那么就带来一个问题，高中生未学过洛必达法则，那么按照恒成立的结论来处理势必会走进死胡同，无法求解.

在结论无法问题一个明确的解释时，让我们再次梳理一下题目，其实不难发现，问题的本质其实是要求在[0，1]上y=kx图象恒在y=sin图象上方的直线斜率的取值范围. 由图象可知，当直线位于k1位置时，k≤的临界位置，当直线继续绕着原点向上转会出现k≥的临界位置，即直线与三角函数相切时，过曲线上一点的直线与曲线相切，显然这点为切点，（0，0）即为切点. 对f（x）求导，可得f ′（x）=cosx，则f ′（0）=. 所以k≥.

对比两种方法，在结论的生硬套用过程中，结论让学生陷入思维的困境，而不得不借助于高等数学中的知识才能解决，但在实际教学中，除了顶尖的学校中会将一些高等数学中的内容下放高中学习，这就失学习失去了平等性. 但如果学生在解题过程中不拘囿于结论，通过已有知识来认清问题实质，其实可以通过图象的关系来轻松克服问题. 这恰恰是数学学习的真谛，也是数学灵动的美丽.

反思：结论乃非王道，解题尚需灵活

在教学中人们常说：教学有法，但无定法，贵在得法，将这句话借用到数学的学习过程中，笔者想说：数学有法，但无定法，贵在得法. 这就是说数学中的确存在着一定的规律性，学生在学习时可以遵守它，但数学又是灵活的，学习时不能死抱结论，需要掌握它的本质.

再次审视上述“特例”，其实也再次佐证了这种说法：题目是活的，结论是死的，生硬的套用往往会将问题复杂化，甚至会走向矛盾化. 对此教师和学生均需要反思. 从教师层面来讲：在现实的教学过程中，很多老师往往热衷于将每一单元中的知识点分割为几种类型来归纳相对应的结论，但上述论证说明了结论乃非王道，因此教学过程中，教师不应当热衷于机械地将知识点归纳为几种特殊的类型，数学的规律是应当认识的，但不是在结论的总结中认识，而应当在教学生认识数学的真谛中传授；从学生层面上讲：在现实的数学学习过程里，很多学生在思想中固执地认为学习数学其实很简单，只需将老师归纳好的结论记住，在具体的问题情境中迁移即可，但上述论证充分说明了学生的解题尚缺灵活性，机械套用结论，有时候会将自己、结论和问题都逼进死胡同，结论是可以用的，但不是机械运用，它是建立在你真正认识问题的本质基础上的运用.

总之，我们的结论是：结论乃非王道，解题尚需灵活.