从物理基本模型变式谈2016年高考

山西 赵燕飞

从物理基本模型变式谈2016年高考

山西 赵燕飞

源于生活，回归经典。

2016年全国卷Ⅰ选修3—5没有考查近几年一直考查的动量守恒定律，而是考查了动量定理，试题取材为喷泉喷出的水柱将一卡通玩具稳定地悬停在空中，要求考生建立物理模型，利用微元法解题。物理学中有许多经典好题，经典题具有一定的代表性、示范性，高考不可能直白地考查经典题，但高考试题往往有经典试题的影子，有异曲同工之妙，本文从基本模型到经典模型再到高考真题，谈基本模型的重要性，说高考真题的拓展性。

【基本模型】高压采煤水枪水平出水口的截面积为S，水的射速为v，射到煤层上后，水的速度为零，若水的密度为ρ，求水对煤层在水平方向的冲力。

我们取一小段时间内射到煤层上的水在水平方向进行研究，这部分水在较短时间内水平速度变为零，煤一定对水产生力的作用。因此，可以由动量定理来求煤对水的平均作用力，再由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力。

处理这类“变质量”的“连续”的流体问题时，一般要假设一段时间Δt内流出的水柱，其长度为vΔt水柱底面积为S，得水柱体积V＝SvΔt，故水柱质量为Δm＝ρV＝ρSvΔt，再对质量为Δm的水柱应用动量定理求解。

Δt时间内射出的水的质量Δm＝ρSvΔt，以Δm为研究对象，以水的运动方向为正方向，它在Δt内动量变化为ΔP＝Δm（0-v）＝-ρSv2Δt。设F为水对煤层的冲力，F′为煤层对水的反冲力。根据动量定理有F′Δt＝-ρSv2Δt，所以F′＝-ρSv2，根据牛顿第三定律得F＝-F′＝ρSv2。

【经典模型】如图1所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用。买者认为，因为米流落到容器中时有向下的冲力而不划算；卖者则认为，当预定米的质量数满足时，自动装置即刻切断米流时，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来，究竟哪方说得对而划算呢？

【解析】设米流的流量为d，它是恒定的，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，盛米的容器中静止的那部分米的质量为m1，空中还在下落的米质量为m2，则落到已静止的米堆（m1）上的一小部分米的质量为Δm。在极短时间Δt内，取Δm为研究对象，这部分米很少，Δm＝d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，取向上为正方向，由动量定理得

（F-Δmg）Δt＝Δmv

即单位时间内米堆对米流的作用力F＝dv＋d·Δt·g

因Δt很小，故F＝dv

根据牛顿第三定律知F＝F′

可见，称米机读数包含了静止在袋中的部分m1，也包含了尚在空中的下落的米流m2，即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题。

【点评】基本模型在水平方向用动量定理，没有考虑竖直方向的力，本题在竖直方向用动量定理，但因时间极短，流体部分对应的重力可忽略不计。

【高考真题】（2016·全国卷Ⅰ）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：

（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【解析】（1）在一段很短的Δt时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变。

该时间内，喷出水柱高度Δl＝v0·Δt①

喷出水柱质量Δm＝ρ·ΔV②

其中ΔV为水柱体积，满足ΔV＝Δl·S③

由①②③可得喷泉单位时间内喷出的水的质量为

（2）如图2所示，由玩具受力平衡得F′＝Mg④

其中F′为玩具底部水对其的作用力

由牛顿第三定律F＝F′⑤

其中，F为玩具对其底部的水的作用力

设玩具悬停时底面相对于喷口的高度为h，v为水体到达玩具底部时的速度，如图3所示

在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm，如图4所示

Δm＝ρv0S·Δt⑦

由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱由动量定理有

（F＋Δmg）Δt＝Δmv⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式变为FΔt＝Δmv⑨

【点评】本题没有求水柱对玩具的冲力，而是求水柱喷口的高度，实质是根据基本模型求得水柱和玩具接触时的速度，然后根据匀变速直线运动求解。试题取材于生活，把生活中的素材转化为物理模型，应用微元法解题，很好地体现了物理来源于生活又回归到生活的原则，全面考查了考生的建模能力和分析综合问题的能力。

（作者单位：山西省介休市第一中学）