江苏省2016高考数学模拟卷（一）

第I卷必做题部分

一、填空题

1.已知集合A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且AB，则实数a的值为.

2.已知复数z=1-i，则z2-2zz-1的模为.

3.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数为.

4.设变量x，y满足约束条件x-y≥1，x+y≥1，x≤2，则目标函数z=2x-y的最大值为.

5.下图是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入ai=sini11π（i∈N+），则输出的i的值是.

6.给定下列四个命题：

①分别与两条异面直线都相交的两直线一定是异面直线；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面相互垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的序号为.

7.已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积V=.

8.设数列{an}（n∈N*）是等差数列.若a2和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根，则数列{an}的前2015项的和S2015=.

9.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，则f（2012）=.

10.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1，且a∈（0，3），则对于任意的b∈R，函数F（x）=f（x）-x总有两个不同的零点的概率是.

11.在平面直角坐标系xOy下，已知双曲线x2-y2=a（a>0），右焦点为F，右准线为l，点A，B是右支上两点，∠AFB=120°，线段AB的中点M在右准线上的射影点为M′，则MM′AB的最大值为.

12.三角形ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA+AB+AC=0，|OA|=|AB|，则CA·CB等于.

13.函数f（x）=（1-ax）ex（x>0）（其中e为自然对数的底数）存在一个极大值点和一个极小值点的充要条件是a∈.

14.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，则1x+1y的最大值为.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分

15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π3，cosA=45，b=3.

（1）求sinC的值；

（2）求△ABC的面积.

16.在四棱锥PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB.

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；

（2）求证：CE∥平面PAB.

17.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l1=AB+BC，图②的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都为S.

（1）分别求l1和l2的最小值；

（2）为使流量最大，给出最佳设计方案.

18.已知椭圆x2+y2b2=1（0

（1）当m+n>0时，求椭圆离心率的范围；

（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论.

19.（本小题满分16分）设等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+32bn=0（t∈R，n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；

（3）当数列{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak和ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.

20.设a为实常数，已知函数.f（x）=x2-2alnx（x>0）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a>0时，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；

（3）当a≠0时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有x2-f（x）2a>1ex-2ex.（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）

第II卷附加题部分

一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分.每小题10分，共20分

21.（A）41：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，过A点的切线交CB的延长线于E点.

求证：AB2=BE·CD.

（B）选修42：矩阵与变换

设T是矩阵acb0所对应的变换，已知A（1，0），且T（A）=P设b>0，当△POA的面积为3，∠POA=π3，求a，b的值.

（C）选修44：坐标系与参数方程

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点求线段AB的长.

（D）选修45：不等式选讲

已知x，y，z均为正数求证：xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.

二、必做题：本大题共2小题

22.已知（x+12x）n的展开式中前三项的系数成等差数列.

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项.

23.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点.

（1）求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；

（2）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；

（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值、最小值.

参考答案

第I卷必做题部分

一、填空题

1. -2

2. 2

3. 64

4. 5

5. 21

6. ④、②

7. 33

8. 2015

9. 0

10. 13

11. 66

12. 3

13. （4，+∞）

14. 1

二、解答题

15.解：（1）因为A，B，C为△ABC的内角，B=π3，cosA=45，所以C=2π3-A，sinA=35.

所以sinC=sin（2π3-A）=32cosA+12sinA=3+4310.

（2）由（1），知sinA=35，sinC=3+4310.因为B=π3，b=3，所以在△ABC中，a=bsinAsinB=65.所以△ABC的面积S=12absinC=12×653×3+4310=36+9350.

16.证明：（1）在△ABC中，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴AC=2AB，又∵PA=2AB，∴AC=PA，

∵F为PC的中点，∴AF⊥PC；

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵∠ACD=90°，∴CD⊥AC，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵PC平面PAC，∴CD⊥PC，

∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC，

∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF.

（2）提示：

①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG.

②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N，证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN.

③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB.

17.（1）在图①中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，

则S=12a2sinθ，由于S、a、sinθ皆为正值，

可解得a=2Ssinθ≥2S，当且仅当sinθ=1，即θ=90°时取等号，

所以l1=2a≥22S，l1的最小值为22S，

在图②中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，

可求得AD=m+n，S=12（n+m+n）·32m，

解得n=2S3m-m2，l2=2m+n=2m+2S3m-m2=2S3m+3m2≥23S=243S，

l2的最小值为243S，当且仅当2S3m=3m2，即m=4S33时取等号.

（2）由于2>43，则l2的最小值小于l1的最小值，所以在方案②中当l2取得最小值时的设计为最佳方案.

18.解：（1）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为x=1-c2，y-b2=1b（x-12），

联立方程组，解出x=1-c2，y=b2-c2b.

m+n=1-c2+b2-c2b>0，即b-bc+b2-c>0，

即（1+b）（b-c）>0，

∴b>c，

从而b2>c2，即有a2>2c2，∴e2<12，

又e>0，∴0

（2）直线AB与⊙P不能相切，

由kAB=b，kPB=b-b2-c2b0-1-c2=b2+cb（c-1），

如果直线AB与⊙P相切，则b·b2+cb（c-1）=-1，

解出c=0或2，与0

19.解：（1）由题意6a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2，

因为q为正整数，所以q=2，

又a1=2，所以an=2n（n∈N*）.

（2）当n=1时，2-（t+b1）+32b1=0，得b1=2t-4，

同理：n=2时，得b2=16-4t；n=3时，得b3=12-2t，

则由b1+b3=2b2，得t=3.

而当t=3时，2n2-（3+bn）n+32bn=0，得bn=2n.

由bn+1-bn=2，知此时数列{bn}为等差数列.

（3）由题意知，

c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…

则当m=1时，T1=2≠2c2=4，不合题意，舍去；

当m=2时，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立；

当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1，不合题意，舍去；从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，

则Tm=a1+2+…+2b1个+a2+2+…+2b2个+a3+2+…+2b3个+a4+…+ak+2+…+2bk个

=（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）

=2（2k-1）+2×（2+2k）k2=2k+1+2k2+2k-2，又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，

即2k-k2-k+1=0，所以2k+1=k2+k=k（k+1），

因为2k+1（k∈N*）为奇数，而k2+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解.即当m≥3时，Tm≠2cm+1.

综上所述，满足题意的正整数仅有m=2.

20.解：（1）f′（x）=2x-2ax=2（x2-a）x（x>0），

当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a>0时，f′（x）>0x2-a>0，x>0x>a；

f′（x）<0x2-a<0，x>00

所以，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；当a>0时，f（x）在（a，+∞）上是单调递增函数，在（0，a）上是单调递减函数.

（2）方程f（x）=2ax在（0，+∞）上有唯一解等价于函数F（x）=f（x）-2ax的图象在x轴的正半轴上只有一个交点.令F′（x）=f′（x）-2a=0，即2（x2-ax-a）x=0（x>0），解之得x0=a+a2+4a2（另一解x=a-a2+4a2为负数，舍去）.0x0，有F′（x）>0，F（x）单调递增.

所以，当x=x0时，F（x）有极小值，也是最小值，

即F（x）min=F（x0）=x20-2alnx0-2ax0，

因为方程f（x）=2ax在（0，+∞）上有唯一解，

所以F（x）min=0，即x20-2alnx0-2ax0=0.①

又因为x20-ax0-a=0，②

①与②联立得a-2alnx0-ax0=0，即1-2lnx0-x0=0，③

令h（x）=1-x-2lnx（x>0），由于h′（x）=-1-2x<0，所以h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（1）=0，即h（x）=1-x-2lnx在（0，+∞）有唯一零点，x=1，

故③的解就是x0=1，在代入②得a=12.

（3）x2-f（x）2a>1ex-2exxlnx>xex-2e（x>0）.

令G（x）=xlnx，因为G′（x）=1+lnx，当0

当x>1e时，G′（x）>0，G（x）单调递增，

所以，当x=1e时，G（x）有极小值，也是最小值，

即G（x）min=-1e.

令g（x）=xex-2e，因为g′（x）=1-xex，当00，g（x）单调递增；当x>1时，g′（x）<0，g（x）单调递减，所以，当x=1时，g（x）有极大值，也是最大值，即G（x）max=-1e.

又由于两个函数的最小值与最大值时x的取值不同，

所以有G（x）>g（x），即x2-f（x）2a>1ex-2ex对一切x∈（0，+∞）恒成立.

第II卷附加题部分

一、选做题

21.（A）选修41：几何证明选讲

证明：连结AC，

因为EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB，

因为AB=AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，

于是∠EAB=∠ACD，又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE=∠D，

所以△ABE∽△CDA，

于是ABCD=BEDA，即AB·DA=BE·CD，

所以AB2=BE·CD.

（B）选修42：矩阵与变换

解：∵acb010=ab，∴P（a，b），

∵b>0，S△POA=3，∠POA=π3，P（a，b），A（1，0），

∴a=2，b=23.

（C）选修44：坐标系与参数方程

解：直线的参数方程为x=-3+32s，y=12s（s为参数），

曲线x=t+1t，y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4，

将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0，

设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10，

AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用.

（D）选修45：不等式选讲

证明：因为x，y，z均为正数，所以xyz+yzx=1z（xy+yx）≥2z，

同理可得yzx+zxy≥2x，zxy+xyz≥2y，

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立，

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.

二、必做题

22.解：（1）由题设，得C0n+14×C2n=2×12×C1n，

即n2-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）

（2）设第r+1的系数最大，则12rCr8≥12r+1Cr+18，12rCr8≥12r-1Cr-18.

即18-r≥12（r+1），12r≥19-1.解得r=2或r=3，

所以系数最大的项为T3=7x5，T4=7x92.

说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用.

23.以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

（1）A（1，0，0），E（12，0，1），B（1，1，0），

F（1，12，1），

AE=（-12，0，1），

BF=（0，-12，1），

cos〈AE，BF〉=15454=45.

（2）平面BDD1的一个法向量为MA=（12，-12，0），

设平面BFC1的法向量为n=（x，y，z），

n·BF=-12y+z=0n·BC=（x，y，z）·（-1，0，1）=-x+z=0，∴x=zy=2z，

取z=1得平面BFC1的一个法向量n=（1，2，1），

cos〈MA，n〉=MA·n|MA||n|=12-1226=-36，

∴所求的余弦值为36.

（3）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），

EP=（x-12，y，-1），由EP·n=0得（x-12）+2y-1=0，

即x=-2y+32，∵0≤x≤1，∴0≤-2y+32≤1，∴14≤y≤34，

∴|EP|=（x-12）2+y2+1

=（2y-1）2+y2+1

=5y2-4y+2

=5（y-25）2+65，

∵14≤y≤34，

∴当y=25时，∴|EP|min=305，

当y=34时，∴|EP|max=294.

（王小青，江苏省如皋中学）