分类讨论要诀

周小微��

很多数学问题存在一些不确定的因素，不能用统一的方法去研究、解决，这时，我们就需要将研究的对象或过程进行分类，即将一个母项分成若干子项，然后，对每一类子项分别加以研究，得出相应的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种解决问题的思想叫做分类讨论.

引发分类讨论的因素有：（1）有些概念本身就包含多种情况，比如绝对值、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论，或者定理、公式、法则有范围、条件的限制，如等比数列前n项和公式；指数函数、对数函数的单调性等；（3）含有参数的问题，参数不同范围的取值导致不同的结果；（4）有些问题比较复杂，它包含了多种情况，如题目的条件、结论不确定，图形位置、数量大小不确定等.

解决分类讨论的一般方法是：（1）确定分类讨论的对象；（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不漏不重、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论，即对各类问题进行讨论，逐步解决，各个击破；（4）归纳总结，即将各类情况归类、整合，得出综合结论.

下面我们通过几个典型例题来剖析如何求解分类讨论问题.

例1已知函数f（x）=（x-a）2ex在x=2时取得极小值.

（1）求实数a的值；

（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.

解：（1）f′（x）=ex（x-a）（x-a+2），

由题意知f′（2）=0，解得a=2或a=4.

当a=2时，f′（x）=exx（x-2），

易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；

当a=4时，f′（x）=ex（x-2）（x-4），

易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4）上为减函数，不符合题意.

所以，满足条件的a=2.

（2）因为f（x）≥0，所以m≥0.

①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4

设g（x）=（x-2）2xex（x≥2），则g′（x）=[x2-4x2+（x-2）2x]ex≥0，

所以g（x）在[2，+∞）上为增函数.

由于g（4）=e4，即方程（n-2）2en=e4n有唯一解为n=4.

②若m>0，则2[m，n]，即n>m>2或0

（Ⅰ）n>m>2时，f（m）=（m-2）2em=e4mf（n）=（n-2）2en=e4n，

由①可知不存在满足条件的m，n.

（Ⅱ）0

设h（x）=x（x-2）2ex（0

则h′（x）=（x3-x2-4x+4）ex

=（x+2）（x-1）（x-2）ex，

h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0

此时（m-2）2em<4e

综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4.

评注：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，本题如果按参数得变化来分类，情形较为复杂，但是通过函数的值域得到n>m≥0，简化了讨论（分类情形较少）.

例2已知圆M：x2+（y-2）2=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4，点P在线段BC上，过点P作圆M的切线PA，切点为A.经过A，P，M三点的圆的圆心为D，当t变化时，求线段DO长的最小值.

解：设P（s，s2），t≤s≤t+4，

∵AP为切线，则AM⊥AP，

∴△AMP为直角三角形，

∴过A，P，M三点的圆的圆心D即为斜边PM的中点，

D（s2，s+44）.

OD=（s2-0）2+（s+44-0）2=5s216+s2+1，

配方有

OD=516（s+45）2+45，其中t≤s≤t+4.又BC是直线上变化的线段，点（-45，-25）不一定在线段BC上；而从OD表达式上看，何处取最小值取决于-45与区间[t，t+4]的关系.无论是前者或后者，都有三种情况，故须分类讨论（以下过程略）.

ODmin=516（t+245）2+45，t≤-245，255，-245

评注：由图形的位置、形状变化引发的讨论，常常有下列情形：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率、截距引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化等.

例3若不等式mx2+mx+2>0，对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.

分析：解此题时，要注意m=0，讨论时不能遗漏.

当m≠0时，知f（x）=mx2+mx+2是关于x的二次函数，要使其值恒大于0，此时，其图象开口向上，且与x轴没有交点，故m>0且Δ<0.

当m=0时，显然函数不是二次的，需要另行处理.

解：（1）当m≠0时，mx2+mx+2>0，对于一切x恒成立时有：

m>0，Δ=m2-8m<0解得m>0Δ=m2-8m<0

解得：0

（2）当m=0时，原不等式化为2>0，显然成立.

综合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

评注：不等式ax2+bx+c>0成立的充要条件为a>0Δ<0或a=b=0c>0.

讨论时，不要被表达式形式所迷惑，遗漏讨论“假二次”的情况.

例4函数f（x）=x2-2ax+1在区间[-1，1]上的最小值记为g（a）.

（1）求g（a）的解析式；

（2）求g（a）的最大值.

解：（1）f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2.

当a≤-1时，函数f（x）在[-1，1]上单调增，g（a）=f（x）min=f（-1）=2+2a；

当a≥1时，函数f（x）在[-1，1]上单调减，g（a）=f（x）min=f（1）=2-2a；

当-1

综上g（a）=2-2a，a≥1，1-a2，-1

（2）a≥1时，g（a）=2-2a单调减，g（a）max=g（1）=0；

-1

a≤-1时，g（a）=2+2a单调增，g（a）max=g（-1）=0.

综上g（a）的最大值为1.

在解分类讨论问题时我们要注意以下两点：（1）要合理选取分类标准，厘清主次，准确分类并进行讨论.分类不明确、分类重复或遗漏是常见的错误；（2）还应该注意到，有时通过变换研究问题的角度，可以使分类讨论的过程简化或避免讨论.

（作者：周小微，江苏省江安高级中学）