中考试题中数学思想方法的探究

◎许明敏

中考试题中数学思想方法的探究

◎许明敏

随着新课改的不断深入，中考数学试题已由“知识立意”逐渐转向“能力立意”。这加大了对初中学生数学能力的考查，特别是运用数学思想方法解决问题的能力的考查。因此初中数学教师就必须随时关注中考题，了解中考题的命题思路和命题方向用以指导自己的教学，以达到不断提高教学质量的目的。

中考数学；思想方法

一、什么是数学思想方法

数学思想方法，实质上包含两方面的内容，即数学思想和数学方法。其中，数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。简单地讲，数学思想就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。数学方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。通俗地说，数学方法就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。

二、近年中考数学试题中所考查的数学思想方法

在近年来的中考数学试题中，对数学思想方法的考查力度越来越大，其考查的数学思想主要有：函数与方程的思想、转化与归化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、整体的思想。

1．方程与函数的思想方法 函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想。方程思想则指把研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化成方程或方程组等数学模型。值得注意的是，当函数值为零时，函数问题其实就转化成了方程问题。同样，我们也可以把方程看做是一个函数的函数值为零时求自变量的问题。在一些中考试题中，常常可设法利用函数和方程方法将命题中隐含的等量关系或对应关系，通过列方程、方程组或求函数解析式来解决问题。而且利用方程或函数的思想方法求解，问题也可达到常“化繁为简”的效果。

2．转化与化归的思想方法 数学题目千变万化，深浅不一，有些题目要由条件直接求解较为困难，这时候就会难倒很多学生，因为初中学生的经验比较少，他们解题一般都是靠经验从直观方面解决，因而遇到这些不能由直接条件解出来的题目会觉得比较辣手。在这种情况下，学生就应该考虑运用恰当的数学方法进行变换，将原问题的条件或结论进行转化，把陌生的问题化归为新的问题（相对来说较为熟悉的问题），并通过已有知识求解新问题，达到解决原问题的目的。这便是转化与化归的思想方法。具体来说，转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程，则化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

例：如图1，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为＿＿＿＿＿（结果保留π）

分析：阴影部分是一个不规则的图形，直接求其面积比较困难，考虑转换思路来解决此问题。若链接OE，设OE交BD于F，则易证明△DEF≅△BOF，于是求阴影部分的面积就转化为求扇形OEB的面积，这样就把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积。

解：连接OE，交DB于F

∵DC切半圆于点E ∴OE⊥DC

易证四边形ABCD与四边形OECB都是正方形

∴OB＝ED 又∵四边形ABCD是矩形

∴AB／／CD ∴∠BOF＝∠DEF，∠OBF＝∠EDF

∴△BOF≅△DEF

S阴影＝S扇形OED＝×π×22＝π

转化与化归思想是初中数学中最基本的数学思想，常见的许多问题都可以以这种思想解答。如二元一次方程组，三元一次方程组的解决实质就是化为解已经学过的一元一次方程。又如：如果我们把若干个人之间握手总次数（单握）称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线、共端点射线夹角（小于平角的角）个数、足球队之间单个循环比赛场次等等这些问题都可转化为“握手问题”。因此，在教学中应注意培养学生的转化与化归意识，提高学生的思维素质，使其从更深层次上去揭示初中数学各知识点的内部联系，提高其分析问题和解决问题的能力。

3．分类讨论的思想方法 在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分类加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。在中考数学试题中有些题目答案不唯一，学生比较容易因为考虑不周全而漏解，这样的题型往往需要进行分类讨论。

分类讨论思想也是近年来中考重点考查的思想方法，由于要用分类讨论法解答的数学问题，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，这主要考查学生思维的全面性和严谨的思维能力。分类思想在中考数学几何动点问题中的应用较为广泛，这类试题的解题思路是：在熟悉问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类讨论思想方法，选择恰当的分类标准，从而全面准确的求解答案。

4．数形结合的思想方法 近年来的各地中考数学试题中出现了借助数形结合思想方法的问题，这类试题综合性强，能力要求很高，常常作为中考的压轴题，它能全面考查学生分析问题和解决问题的能力，有助于培养初中学生用相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点分析问题，有利于培养初中学生创新的思维品质。

我们知道，数和形是数学中的两种表现形式，那么，依形判数，可使几何问题代数化；由数思行可使代数问题几何化。所以，我们在解决某些解决数学问题时，可将数与图形结合起来分析。通过数的计算去找图形之间的联系，或结合已知图形去寻找数之间的联系。

例：关于x的二次方程x2－9x－2（k－1）＝0有两个实根，一个跟大于1，一个根小于1，则（）

A．k＜－3 B．k＞－1 C．k＞－3 D．k＜－1

分析：二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，怎样利用这两个条件是关键，利用方程的根的定义无从下手，若把两根看成函数y＝x2－2（k－1）与x轴交点的横坐标，再画出函数的大致图像，如图3所示，观察图像不难发现，若当x＝1，y＜0时，定能满足条件。

解：∵二次方程x2－9x－2（k－1）＝0的一个根大于1，另一个小于1

∴二次函数y＝x2－2（k－1）与x轴交点在（1，0）的左、右两侧，

由图像知，当x＝1时，y＜0，12－9×1－2k＋2＜0，即k＞－3

因此选（C）

数形结合思想作为一种重要的解题策略，并随时着新课程改革的深入，素质教育的不断推进，中考中考查此思想的题目比重增大，所以，老师在日常教学工作中要善于挖掘数形结合的例子，提炼数形结合的思想，做好“数”与“形”关系的揭示和转化，引导学生用图形直观地研究数式问题，用数式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。

5．整体的思想方法 当一个一般性的问题难以入手时，不妨去考虑它的整体情况，通过研究问题的整体形式和结构，进行整体处理，达到迅速解题的目的．这样不仅可避免繁琐的计算及复杂的推理，而且能使问题变得直观、简单，收到出奇制胜的效果。

运用整体思想可以理清数学学习中的思考障碍，可以使繁、难的问题得到巧妙地解决。在近年来的中考数学试题，整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用。

数学思想方法是数学知识的高度抽象与概括，是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，又是把知识转化成能力的桥梁。中考数学试题越来越重视对学生的数学思想方法的考查，这不是单纯的考查学生的解题能力，更重要的是对思维品质和创新意识的考查，所以数学思想方法的学习显得尤为重要，随着新课程改革的深入推进，对教师在平常教学中渗透数学思想方法也提出了更高的要求。

（作者单位：广西钦州市灵山县平山中学 535425）