试谈数学教学中逆向思维能力的培养

李仲名

摘 要： 作为正向思维（常规思维）的另一面，逆向思维在提高学生思维能力和创新意识方面发挥着积极的作用。作者在此方面进行了积极的探索和尝试。从树立正确的数学学习观入手，帮助学生克服对正向思维的依赖，采取各种方法开展逆向思维基础训练，积极摸索“逆向思维”教学新方法。

关键词： 数学教学 逆向思维 能力培养

逆向思维是指从问题的相反方向着手的一种思维。笔者从教十几年，深感许多学生数学水平一直提不上来，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，拘泥于顺向、单向学习，死板套用公式、定理，缺乏创造能力、分析能力和开拓精神。因此，在训练正向思维的同时，加强逆向思维的培养，犹如周伯通之“左右互搏”，可有效改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。笔者在培养学生逆向思维方面积极进行了探索和尝试，获得了一定的成效，现归纳如下。

一、指导学生树立正确的数学学习观

很多学生，特别是那些处于中低层次水平的学生常问笔者：“老师，学习数学为什么？”显然，这个问题不解决，逆向思维能力的培养无从谈起。为此，笔者专门答复学生：“高考文理均考语、数、外三门功课，是因为上述三门功课能概括地表现一个学生的能力，语文是锻炼感性思维能力，外语是掌握工具，而数学是通过训练数学逻辑思维，进而培养严谨的理性思维能力。”

这个答复让学生耳目一新，笔者便趁机展开，着重谈思维能力的培养特别是逆向思维的培养，通过介绍逆向思维在日常生活、发明创造等方面的典型运用，激发学生浓厚的学习兴趣，为开展逆向思维的训练奠定基础。

二、帮助学生克服对正向思维的依赖

很多学生患有“正向思维”依赖症，拿到题目，条件反射先设“x”，列出方程后，埋头解方程，久之，解方程能力大大提高，但逆向思维能力严重不足，此类学生往往还自鸣得意，以为解方程乃“一招鲜、吃遍天”。

对此问题，笔者在挑选习题时，故意挑选些解方程难度大的，“逼”学生通过逆向思维解决问题，比如下面这道题：

第一天，往池塘中投入1单位面积绿藻，已知绿藻每过一天分裂一次（即池塘中绿藻第一天为1，第二天为2，第三天为4……），则第17天，该池塘正好布满绿藻，问何时绿藻布满池塘面积的1/4？

题目出后，很多同学不假思索地就设绿藻单位面积为“x”，池塘面积为“S”，意图通过解方程式x+2x+4x+…+216x=S，求出“x”与“S”关系后，再设所求天数为“y”，通过解方程式x+2x+4x+…+2x=（1/4）S，得到所求天数“y”。

显然，上述方程式十分繁琐，班级里几位解方程“高手”都束手无策，笔者见已达目的，从容解答：第17天布满池塘，那么第16天布满池塘的一半，第15天则布满1/4，符合题意。学生心悦诚服。

笔者通过类似“绿藻问题”，有效减少了学生对“正向思维”的依赖，加深了学生对“逆向思维”的理解。

三、采取各种方法开展逆向思维基础训练

培养逆向思维能力，夯实基础非常重要。逆向思维能力的提高，必须建立在对概念、定义、公式、定理深入理解的基础上，笔者在实践中主要侧重以下方面。

1.加强对概念、定义教学中反方向的思考与训练

数学概念、定义总是双向的，在平时的教学中，往往习惯了从左到右的运用，于是形成了思维定势，如果逆用则感觉很不习惯。因此在概念、定义的教学中，除了常规应用外，还引导学生反过来思考，使其能融会贯通，从而加深理解。

2.加强公式逆用的教学

数学公式可以从左到右，也可以从右到左，闪烁着“逆向思维”的光辉。因此，笔者注重数学公式的逆运用，当讲授完一个公式及其常规应用后，“趁汤下面”，即举一些公式逆应用的例子，以此为抓手，开展逆向思维教育，学生容易理解，也容易运用。

3.加强逆定理的教学

每个定理都有它的逆命题，有的逆命题成立，即为逆定理。如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定等，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开拓学生思路、活跃学生思维大有益处。

4.结合证明题开展逆向思维训练

每一道证明题都是很好的逆向思维训练题，给出条件和结论，求过程。笔者习惯让学生从结论入手层层推导，直指已知条件。反证法是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。

四、摸索“逆向思维”教学新方法

通过上述训练，许多学生形成了逆向思维习惯，但笔者在实践中发现，还是有部分学生不能随机应变，灵活选用适合题目的解题方法。还是上述“绿藻问题”，笔者稍作改动，很多学生就解答错误。

例如：上述“绿藻问题”中，题目改为：若第一天投入2单位面积绿藻，则何时布满水塘？

很多同学想当然，拿到题目，照例不假思索，投入面积为原来的两倍，时间自然为原来的1/2，回答8.5天。

其实，解法还是利用了“逆向思维”：

解法：已知第一天投1单位面积的话，第二天则分裂为2单位面积，……第17天布满池塘，按题意，可将第二天分裂的2单位面积看成第一天投的2单位面积，所以答案为17-1=16，答：第16天。

“绿藻问题”第一问让学生学会了从第17天开始反向推导，通过逆向思维，得出答案，当学生习惯了这样的解答，其实逆向思维已经变成正向思维，又成为学生的思维定势。因此，笔者提出“绿藻问题”第二问，又让学生从第1天开始推导，得出答案。看似又回到了正向思维，其实不然，第二问是逆“逆向思维”。

通过逆“逆向思维”教学，笔者使学生认识到“逆向思维”其实是“思维定势”的“逆向”，不是绝对的，而是相对的，正所谓“山无常势、水无常形”，打破思维常规，活学活用才能得心应手。