浅析“复变函数”课程教学改革

彭卓华1，张更容2

（1.湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁 530004）

浅析“复变函数”课程教学改革

彭卓华1，张更容2

（1.湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁 530004）

当前高校“复变函数”课程教学存在学生对该课程的认知方向模糊，学习兴趣不高；教学重点不突出，教学方法单一；讲授章节知识安排不合理等问题。针对存在的问题，提出了“复变函数”课程教学中“两改革四重视”六点改革构想。

“复变函数”课程；教学改革；多媒体

复变函数是数学的一个重要分支，是数学分析或高等数学的一个重要延伸［1］。复变函数的理论与方法现已成为解决很多学科有关问题至关重要的一种工具，在工程实际许多领域如振动与控制理论、弹簧理论、信号图像处理等有不可估量的应用前景。“复变函数”课程现已成为许多专业如数学、电子工程及电气等专业必设的一门课程。目前，“复变函数”课程的教学大多以教师、课堂及课本为中心，在教学中沿袭着讲、听、考这种传统的教学模式。在这种传统的教学模式下，有些学生在复变函数的学习中往往采用了封闭和记忆型的学习方法，无法体会复变函数的用途，不能适应新世纪对人才培养模式的要求。本文通过剖析当前“复变函数”课程教学现状，找出了“复变函数”课程教学中根深蒂固的毛病，提出“复变函数”课程教学改革的“两改革四重视”六点改革构想。实践表明，这种“复变函数”课程的教学模式有助于培养学生的创新意识及创新能力，可以显著提高复变函数的教学效果。

一、当前“复变函数”课程教学中存在的问题

（一）部分学生对“复变函数”课程的认知方向模糊，学习兴趣不高

众所周知，学生对复变函数掌握的好与差，与他们的数学分析或高等数学知识功底有很大的联系。虽然复变函数的许多知识点与数学分析或高等数学的知识点在表现形式上看起来一样，但是，它的逻辑性和抽象性却大大超过了数学分析或高等数学，两者之间的实际意义很不一样。很多学生对此体会不够。他们简单地认为，学习复变函数知识是重复学习数学分析或高等数学知识，因而产生了错误的想法，模糊了知识点，学习兴趣不高，以至于不能全面地掌握复变函数知识。

（二）讲授章节知识安排不合理

当前有些高校教师在讲授“复变函数”课程时，对章节知识的安排存在不合理现象。主要问题是：知识结构体系安排不科学，缺乏改革创新，内容剪裁不合适。例如：在讲授复变函数积分这一章时，内容有：复变函数积分的定义和性质；复变函数积分的各种计算方法；Cauchy积分定理；Cauchy积分公式；解析函数的高阶导数公式；Cauchy不等式与Liouville定理等。有些教师在上课时，就是把这些内容平铺直叙地讲解一遍，在知识内容的选择上缺乏改革创新。哪些知识必须重点讲授，学生必须掌握，哪些知识可以让学生自主学习，一些教师心中没有全盘掌控，直接影响学生的学习。

（三）教学重点不突出，教学方法单一

有些高校教师在上“复变函数”课程时，着重讲解如何推导公式、怎样证明定理、证明方法如何巧妙等，没有考虑复变函数自身的特征，没有把复变函数方法与要解决的实际问题完美地结合起来。因而在教学中，由于教学重点不突出，使得很多学生高分低能，面对实际问题能力低下。有些教师在“复变函数”课程教学中，常常是平铺直叙，照本宣科，讲授方法死板单一。当前“复变函数”课程的授课方式主要有两种：一是黑板板书，二是使用多媒体课件。但是有些教学课件比较简略，不能形象地演示出“复变函数”课程中的有关知识。

二、改革构想

（一）改革教学方式

教师应该将黑板板书与多媒体课件用科学的方法有机地结合起来。以往的教学方法是黑板板书。黑板板书对于数学题目的求解，能使步骤十分清晰，看起来令人非常爽目。但是黑板板书存在缺点。比如单一使用黑板板书，教师讲解的知识量势必较小，有些书写过程太费时，而且效果不好。多媒体课件丝毫不存在这些毛病。教师应该将多媒体课件和黑板板书结合使用，这样才能优势互补，取得较好的教学效果。另外，课件的质量优劣对学生的学习热情有着莫大的影响。因此，教师在制作“复变函数”课程课件时，要特别注意这些问题，做出高质量的教学课件。例如，对一些知识，应尽量形象化、动态化，使得演示过程形象生动，给学生一种愉悦的感觉，使学生学得轻松。

（二）改革章节知识的安排

高校教师在讲授“复变函数”课程时，必须合理安排章节知识。例如在讲授复变函数积分时，重点讲解复变函数定义、性质及各种计算，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式，解析函数的高阶导数公式，Cauchy不等式与Liouville定理，解析函数与调和函数的关系。对于Cauchy积分定理的推广形式、摩勒拉定理等内容，让学生自主学习。

（三）重视学习兴趣

“复变函数”课程是一门理论性较深奥、内容较抽象的课程。学生在学习时，主要感到乏味、不易学，甚至会反问：为什么要学习这门课程？因此，教师上课时，针对不同专业的学生，突出知识点的实际应用背景，强调知识点的应用性，激发学生学习兴趣。比如，在讲授复数的辐角时，可用出自不同相机的照片来讲述：出自一般的照相机的照片无立体感，而出自数码相机的照片立体感很强。理由是：一般照相机仅仅反映复数模，而数码相机不但反映模，而且反映多个点的方位，也就是辐角，因此，也就有了立体感。再比如：在讲授柯西积分公式这个知识点时，可提问：怎么测量地球地心的温度？在已知地球表面各点温度的情况下，用什么方法可以测量地球地心的温度？还比如：在讲授解析函数时，可提问：解析函数在电场中的作用是什么？在讲授映射时，设置问题：地质测量技术人员用什么原理处理图像问题？这样，学生的学习兴趣不知不觉地被调动起来。还可以设置一些课外任务，让学生在课堂外独立地用复变函数知识处理问题，达到培养学生学习复变函数兴趣的目的。

（四）重视类比教学法

类比就是用参照的方法把事物之间存在的异同找出来的一种方法。类比教学法就是在参照的基础上，找出不同知识点之间存在的异同，再将知识点潜移默化到另一知识点上。换一句说，类比教学法就是将一些既存在差异又存在联系的知识点放在一起进行对照，挖掘知识点之间存在的异同，使学生在学习一个知识点之后，毫不吃力地掌握另一个知识点。复变函数的许多概念、性质与定理都与数学分析相应的概念、性质和定理相似。因此，在学习复变函数的时候，回顾数学分析相关的知识，采用类比教学法，引导学生思考，得出相应的新知识。例如，在讲授复变函数的导数定义时，可采用类比教学法。让学生观察发现，复变函数中导数定义在形式上与数学分析单元函数的导数定义完全一样。数学分析中几乎所有的求导公式都可以推广到复变函数中来。但是复变函数的导数含义比数学分析中单元函数的导数含义严格得多。这是因为，在讨论数学分析单元函数的导数定义时，由于x0是实数，当x仅沿着实数轴从x0的左右两个方向趋向x0时，只要比值的极限存在且相等即可得出单元函数f(x)在x0可导。但是，在讲授复变函数的导数定义时，不仅要求变量z从z0的左右两个方向趋向z0，而且要求z在复平面上沿任何方向趋向 z0时，比值的极限都要存在且相等，这就是复变函数的导数定义与数学分析导数定义之间的区别。又如，在复变函数中讲授复数项级数的基本性质时，可采用类比教学法。将数学分析中级数的有关性质平移过来，可以得出复变函数中复数项级数收敛和发散的必要条件以及复数项级数同样具有连续性和可积性等性质。因此，从实例可知，类比教学法不仅有助于激发学生学习复变函数的兴趣，而且有助于培养学生独立思维的能力以及有利于培养学生的创新意识和探索精神［2］。因此，类比教学法在复变函数教学中是一种行之有效的方法。

（五）重视集中讨论，共同学习

根据每一阶段学生学习的实际情况，在学生中进行有针对性地讨论，让学生各抒己见，解决传统教学中单向灌输的弊端。在讨论过程中，学生能够积极主动地学习、思考、辨析和醒悟，学生的潜能得以开发，学生的个性品质也得到了提升。同时，鼓励学生发现问题，提出问题，这对学生发散性思维、求异思维、探索性思维、创造性思维的培养大有益处。在集中讨论的同时，要注重共同学习。所谓的共同学习是指教师与学生共同学习，学生与学生共同学习。例如：在讲授多值函数（根式函数与对数函数）的有关理论时，学生不能找到实函数理论中相应的理论进行类比学习，这时必须由教师对学生进行有效的启发和诱导，使学生找到多值函数（根式函数与对数函数）与单值函数（整幂函数与指数函数）之间的反函数关系，通过整幂函数与指数函数的映射性质，使学生分析得到根式函数与对数函数的映射性质，加深学生对多值函数（根式函数与对数函数）理论的理解。在此过程中，教师对新知识通过合适的手段进行讲授，全面提升学生对知识的掌握。

（六）重视电脑辅助教学

随着社会的不断进步，电脑的飞速发展，电脑与复变函数的应用前景息息相关，电脑为复变函数的发展开辟了前所未有的新天地。在“复变函数”课程课堂教学中，使用电脑辅助教学，促进理论知识体系的更新，不仅具有重大的理论意义，而且具有无可替代的实际应用价值。对“复变函数”课程开发辅助教学系统，能使课堂教学内容栩栩如生，教与学达到空前统一，取得意想不到的教学效果。为了学生能够使用电脑解决相关的问题，在课堂教学中，应该重视学生编写代码能力的培养。向学生介绍Matlab、 Mathematica数学软件［3］。利用数学软件，可以快速地进行数值计算。例如在计算函数值的实部、虚部和乘幂时，采用Matlab软件计算，就能使繁琐的问题简单化。也可以利用Matlab软件，绘制复变函数中有关函数的图像，清晰的图像可以使学生更直观地理解复变函数的有关知识。例如在讲授复变函数中三角函数时，复正弦和复余弦虽然与学生中学学过的正弦和余弦形式相同，都具有奇偶性、周期性以及可微性，但是在复数域内，正弦和余弦不再有界。如果利用Matlab软件做出正弦和余弦的图像，从图像上就可以直观地观察函数的变化趋势，从而让学生更好地理解正弦和余弦的关系。这样，学生在实际操作中不知不觉地巩固了已学的复变函数知识，能够达到潜移默化的效果。

［1］刘显全.复变函数教学法探讨［J］.大学数学，2012（2）：155-158.

［2］杨棋，曹月波，王娜.对比教学法在复变函数教学中的应用［J］.兰州文理学报，2014（1）：106-110.

［3］郭秀凤，复变函数课程教学改革探讨［J］.科技信息，2012（3）：21-22.

An Analysis of Teaching Reform on Complex Function

PENG Zhuohua1,ZHANG Gengrong2

（1.School of Mathematics and Computing Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,411201 China;2.School of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning,Guangxi,530004 China）

At present,college students are usually unclear about“complex variable function”course during teaching of“complex function”in most colleges or universities.So there are problems as students being uninterested in this course;teaching focus being uncer⁃tain;single teaching method;unreasonable teaching arrangement and so on.Upon this questions this paper presents six ideas of teaching reform in the complex function.

complex function subject;teaching reform;multimedia

G642

： A

： 2096-2126（2016）06-0136-03

（责任编辑：雷凯）

2016-10-21

新世纪广西高等教育教学改革工程项目“地方院校数学类专业创新人才培养模式的研究与实践”研究成果。

彭卓华（1967—），男，湖南邵东人，博士研究生，研究方向：数值代数。