转化与化归：解三角题的利器

漆光宗

通过对前面两篇文章的学习，相信同学们对转化与化归思想已经有了一定的了解，匈牙利著名数学家路莎·彼得在名著《无穷的玩艺》中曾指出：“数学家们往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转变成能够解决的问题，”实际上，中学数学中，这种化归方法的应用无处不在.下面就以我们刚刚学习的三角函数为例，来进一步领略运用转化与化归思想解题的魅力.

一、把待求角转化为已知角，实现角的变换

看来转化与化归思想的运用应遵循从简的原则，即转化为已经解决或容易解决的问题，需要注意观察与发现已知条件与所求问题的联系，这里特别是已知角与所求角的关系，角的转化是简化运算的关键.

常见的单角化复角的变换方式有：

三角函数中的公式比较多，我们在解题时必须善于用联系的观点去观察角与角之间的关系，采用转化与化归的思想，把复杂的问题转化为简单的问题来解决.另外三角公式中的α和β是任意的，它们可以是单角也可以是复角，同时角与角之间的关系不是固定不变的，在一定条件下它们是相互转化的.

二、将求角的问题化归为求三角函数值

分析 观察结论，要求α+β，可以将目标化归为求角α+β的某一个三角函数值，比如正弦或余弦，它们应该都是特殊值，再结合角的范围求出角来.

为什么算正弦会多了一个值呢？在求解之前我们怎么去判断应该算哪个函数呢？从函数角度来看这个问题，其实是已知函数值，求自变量的问题，因为a+p∈（0，π），余弦函数在（0，π）上是单调的，一个函数值只对应一个自变量，而正弦函数在（0，π）上不单调，先增后减，一个函数值对应着两个自变量，因此应该利用单调性来做出判断，选取恰当的函数加以计算.

那算正切行吗？正切函数在（0，π）上单调吗？增，做出图象（如图1），发现一个函数值也只对应着一个自变量.因此，只要选取满足一个函数值对应一个自变量的函数就可以.通过这个例子，我们更能体会到，转化与化归还得遵循等价性.

三、利用y=sin x的图象与性质解决三角函数问题

一般有关三角函数的定义域与值域问题，最值问题，以及对函数单调性、周期性等性质的研究，通常借助化归思想，利用辅助角公式将函数解析式变形为y=Asin（ωx+φ+b（或y=Acos（ωx+φ+b）的形式，再利用前文《千变万化终归一》中介绍的方法将函数y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）的性质研究转化为利用函数y=sinx（或y=cosx）的图象和性质解决问题.

四、部分三角函数的最值问题可化归为二次函数最值问题来解决

分析 先利用三角函数的基本公式的变形，利用倍角公式降幂，再配方利用化归思想将问题转换为二次函数的最值问题来解决.

故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=l时y取得最小值6.

利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一座联系的桥梁，在解综合题时，由于有些条件比较隐蔽，或所给的条件比较分散，或是所求的结论比较复杂，这时我们就更需要熟练运用化归的思想，把问题转化为我们比较熟悉的问题，从而较快地找到解题思路.