整除的常见问题

辽宁省锦州市太和区高级中学 杨桂军

一、数的整除概念、性质

（一）整除的定义

设任意两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商

为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫 a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或 b不整除a。

（二）数的整除性质

1.对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、

乙两数相等。

记作：a|b,b|a,则a=b。

2.传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能

被丙数整除。

记作：若a|b,b|c,则a|c。

3.若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

记作：若a|b,a|c,则a|(b ±c)。

4.几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

5.若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。

记作：若a|b,c|b,(a,c)=1,则ac|b。

6.若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。

记作：若ac|b,(a,c)=1,则a|b,c|b。

7.若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

8. 若a|b,m≠0,则am|bm。

9.若am|bm,m≠0,则a|b。

10.若c|a，c|b则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）

二、常见数的整除特征

1.1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0。

2.若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

3.若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

4.若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

5.若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

6.若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2

倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

8.若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

9.若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

10.若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

11.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则能被11整除。

12.若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

三、整除的常见问题

（一）数与数的整除问题

1.直接判断法

例1.判断47382能否被3整除？

解: 4+7+3+8+2=24 3|24，

∴3|47382。

2.填空整除法

例2.四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？

解: 要使7a2b能同时被2，3，5整除，则b为零；又要使7a20能被3整除，a必须满足各位数字的和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9这十个数字，所以a只可取0，3，6，9。故满足条件的四位数有4个，即7020，7320，7620，7920。

3.排列组合法

例3.从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有多少个?

解: 三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7;1,4,7。

于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18﹝个﹞

4.综合应用型

例4.试证明由同一数字组成的三位数都是37的倍数。

证明: 设这三位数为aaa,

则aaa=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a

∵37|111,∴37|111a

∴37|aaa

（二）数与整式的整除问题

此类问题主要考察数与整式的整除情况,多见与证明题中,常见方法如下。

1.余数分类法

要 证b|f(n),令n=bq+r,r=0,1,2,…b-1,分别论证当r=i(i=0,1,2…b-1)时成立,最后得出结论。

例5.证明3|n(n+1)(n+2).

证明: 令n=3q+r,r=0,1,2

当r=0时,3|n=q,所以3|n(n+1)(n+2)

当r=1时,n+2=3q+3=3(q+1), 所以3| n+2,所以3|n(n+1)(n+2)

当r=2时,n+1=3q+3=3(q+1), 所以3| n+1,所以3|n(n+1)(n+2)

综上可知,对任意n都可以有3|n(n+1)(n+2)

2.因式分解法

定理1:如果m为正整数,则有m|n(n+1)…(n+m-1)这个定理可以知道m|f(n)的证法即是将f(n)=n(n+1)…(n+m-1).n5−5 n3+4n

例6.证明5|

证明:n5−5 n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

由定理可知,5|(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2),即5|n5−5 n3+4n

3.分析法

要证b|f( n )把分拆成f( n )=a( n )+b( n)然后去证从而得到结论。

例7.证明3|n( n+1 )(2 n+1)

证明: n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)

3|n( n+1 )(n −1),3|n( n+1 )(n+2)

∴3|n( n+1 )(2n+1)

4.重组法

要证b| f( n ),重组f( n ),使每个式子都能被b整除,得到结论。

例8.若3|a+b+c则3|a3+b3+c3

证明:a3+b3+c3− ( a+b+c )+( a+b+c)=(a-1)a(a-2)+…+(a+b+c)

3|(a-1)a(a+1), 3|(b-1)b(b+1), 3|(c-1)c(c+1),3|(a+b+c)

∴3|a3+b3+c3