讲题的探索

福建省建阳二中 黄培宪

讲题的探索

福建省建阳二中 黄培宪

教师的讲题，要引导学生用科学的思维方式，数学的思想方法，在学生真正掌握所学内容的基础知识、基本技能的前提下，从问题的本质、结构上分析问题，讲题要有归纳，有小结，要让学生走进课堂与走出课堂不一样，知识、技能、方法、习惯、兴趣和需要（唤醒或激发）其中的几项或全部有新的收获。讲题的过程不是讲，而是导。讲题的目的不是解答一题，而是让学生通过参与该题的分析思考得到一次经验，有所启发，使视野得到扩展，并在师生互动的过程中理解多样的思维方式，借授人以鱼达到授人以渔的目的。

讲题 本质 结构 分析归纳

无论什么级别的考试，都是通过解题来考查学生的数学能力和水平。著名美国数学家和数学教育家乔治·波利亚说过：中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。掌握数学就意味着善于解题。 南京师范大学教授单墫认为，解题是数学学习的中心，学习数学就是学会解题。那么怎样才能培养学生的解题能力呢？这很大程度上取决于教师在平时的教学中如何讲题。说到讲题，有哪位老师不会讲？大家都“会”，可是收效却大有区别。这个问题我们很多教师还没有认真研究，甚至讲题还只停留在解题的框架内。那么在课堂上怎样讲题才能收到比较理想的效果呢？下面我来说说我的观点。

数学课离不开讲题，讲例题、讲习题，评讲考题。考试以后我常听到老师们说，这道考题的类似题我们考前都讲过，而且讲得很清楚，本以为他们完成得不错，没想到还是那么多人不会。可是老师们有没想过：为什么会这样？你是怎么讲的？你讲的时候学生在做什么？你真的讲清楚了吗？

首先我们先弄清楚什么是“讲题”，目前很多学校都开展了教师的说题活动，这能有效提高教师讲题的水平，但说题不等同于讲题，说题是面向教师的，说题的内容是：1.说题目2.说学法3.说教法。讲题是面对学生的，以下是关于讲题的三个环节：1.审题分析：①题目背景：题目的出处、涉及的知识点。②分析题目的条件、题目的大致意思，特别要注意挖掘题目中的隐含条件。③题目的难点和关键点。④学生学情分析(学情分析要客观，应根据讲题所要解决的题目的难点、重点，具体分析学生已有知识水平与能力，不要笼统地以“基础差”、“能力差”来敷衍)。2.解题的过程、方法、步骤、解答的格式和表述(方法要符合学生实际，不能将后面的知识往前移)。3.总结提升：①揭示解题规律。②题目涉及的数学思想方法。③题目变式、引申(视情况而定)。④反思思维过程、反思解题过程，指出易错点。

以上三个环节，是对讲题的一种规范要求，应该是比较全面的，但老师在讲题时不一定面面俱到，不同的题目，不同的年段，不同的班级，面对不同的学生学情，讲的内容、方式都有差别，但可以先参考以上环节再进行取舍，即便是老师自己从备课写教案到上课之间都有距离，备课的内容和实施的未必一致，何况既定的环节？所以要做好学情分析。讲题的目的是让学生真正学会如何运用数学的思维方式去分析问题，解决问题，而不是停留在老师很卖力地讲。我认为讲题应该讲本质，讲结构，注重过程、分析与归纳。我们有的老师上课心里揣着进度，只想这节课要完成多少题的评讲，走进教室开始就一路狂奔，一题接着一题，讲题过程也只是告诉学生该题怎么解，正确解法是什么，答案是什么，完了接着下一题，下课后再拖几分钟，完成进度后走出教室，长舒一口气，总算讲完了。这样学生只能通过大量解题才能凭记忆效仿来解决类似的问题，需要题海战术，事倍而功半，一旦遇到题目新颖、不曾相识的就无从下手，乱了阵脚，实在是不可取。都说教是为了不教，讲当然是为了不讲，我们讲题应该把题目作为一个平台，引导学生用数学的思维方式，数学的思想方法，在真正掌握所学内容的基础知识、基本技能的前提下，抓住问题的本质，分析问题要居高临下，全面客观，这样才能找到破题的钥匙，为今后的解题提供一个范例，起到举一反三的作用。今后学生看到一个新的题目不会茫然而不知所措，而是能够居高临下，有条不紊地审题分析，从而解决问题。下面举两个例子具体阐述。

例题一：定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足xf'（x）-f（x）=x，且f（1）=1。现给出关于函数f（x）的下列结论：

（3）函数f（x）有且只有一个零点；

（4）对于任意x>0，都有f（x）≤x2。其中正确结论的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

本题是2015年福建省高三质检卷第10题，是选择题中的最后一题，具有一定的难度，学生能在考场中做对的很少。本题考查的知识有对数函数的图像、性质，导函数，导数公式。考查学生读题，提取有效信息，分析提高整合的能力。我在评讲该题时的做法是：引导学生，从题目中寻找有效信息确定破题入口：

（1）根据分析法，引导学生思考，先从题目的要求看，本题考查的是函数f（x）的图像性质，所以必须先求函数f（x）的表达式。从选项看，该函数的值含有e，这里提示怎样的信息？函数表达式有自然对数！（从问题的提出，到结论的给出要给学生相应的时间，由学生思考回答，大多问题学生都能得到正确结论，如有困难，教师再做进一步引导，切不可包办代替，急于给出结论。下同。）这里老师要说的是，选择题的选项中同样含有重要信息，不可忽视。

（2）根据综合法，由f（x）满足xf'（x）-f（x）=x，这个条件所提供的信息是什么？如果从它的本质属性和结构特征进行分析有什么结论？根据学生现有的知识水平不难得到：等式左边像商的导数公式，但没有分母x2，所以就此路不通，不会了，很多学生就放弃了。很遗憾！我对学生说：其实有很多似是而非，似非而是的题，只要你看准了，如果条件不够或者多余、变形等等，可以自己创造条件以达到想要的目标，当然你的创造必须合理，一旦达成，就是一片新天地！（这才是教师所要教给学生的，对今后的解题具有指导意义！）本题从本质，从结构看，函数导数就是考查要点，如果题中给出分母x2，那就少了一项重要的考查内容，难度就降低了，现在知道要怎么做了吗？学生很快就知道等式两边同除以x2，结果是多完美的结论啊！那么什么函数的导数等于呢？自然对数！这个结论从选项中含有e得到佐证，选项也是信息源，选项提供的信息同样很重要，显然是c(这里有一部分学生不知道+c，这是对导数的公式的本质理解不清晰，没有考虑常数的导数是零，暴露学生思维的严谨性不够好，在这里特别强调类似的问题，今后要特别注意)。 所以 f(x)=x(ln x+c)，本题解到这里，前提是大家对导数公式及其结构特征很熟悉，并学会从条件的本质结构中分析问题，目标一旦确立，没有条件创造条件也要上！这就是我选例题的意义所在。由条件f(1)=1，易得到C=1；所以f(x) =x(ln x+1)；接下来就是对函数f(x)的图像性质的考查。

下面，我从老师们在教学中的一个困惑，继续阐述怎样从本质、结构、注重过程、分析与归纳来讲题。问题是“初中数学完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2看似很简单，上课也没发现什么特别的障碍，可学生运用起来却错误很多。老师是怎么讲这个公式的，具体都什么样的题出错无需列举。我想，要从公式的源头上解决问题，首先，应该从平方运算的本质是两个相同因式的积入手，让学生计算：（1）（a+b）2=（a+b）（a +b）=a2+2ab+b2；（2）（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=……=a3+3a2b +3ab2+b3；（3）（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）=……=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。学生通过多项式乘法运算的过程，加深了对公式的本质理解，还锻炼了学生的运算能力。引导学生观察（1）、（3）式的计算过程和结果，探究结构特征：①展开后分别是四项和九项，合并同类项后结果是三项和六项；②每项都是二次，都含有展开前括弧内任两项的乘积的2倍项，对称美观。比较（1）式和（2）式，其结构特征是：①展开式分别为三项和四项，项数比次数多一；②各项是由二项式中的前项按降幂排列，后项按升幂排列的积，各项系数分别是1，2，1和1，3，3，1。教师还可以介绍4，5次方二项展开式的排列方式，结构相同，系数为“杨辉三角”（列出图形），让学生感受到惊奇，赏识数学的结构美，有利于加深学生对公式的认知与记忆。（2），（3）式的提出不是要学生学会这个公式，而是通过它们让学生从公式的本质和结构上去认识完全平方公式，从数学的体系来说，完全平方公式只是二项式定理的最简单形式。这不是后面知识的前移，是对学生学习的兴趣和好奇心的唤醒或激发，对今后学习会充满期待，具有积极的作用，符合教学的远效性需要！整个过程除了教师介绍4，5次方二项展开式的排列方式，系数为“杨辉三角”外，学生要全程参与，师生互动，共同完成，对公式的本质、结构有了深刻的过程体验，今后就不易含糊不清了。教师如果一味灌输往往会徒劳无功，让学生参与推导，不乏分析，归纳，类比等数学思想方法，可以培养学生基本的数学素养。加上老师们精心设计的例题，练习题，让学生在运用公式的过程中进一步体会其结构特征，做到心领神会，今后的错误自然就减少了。

讲题，对不同的题型，不同的学情，侧重点不同，方法也不一样。但目的是一样的，就是要让学生走进课堂与走出课堂不一样，知识、技能、方法、习惯、兴趣和需要（唤醒或激发）其中的几项或全部有新的收获。讲题的过程不是讲，而是导。讲题的目的不是解答一题，而是让学生通过参与该题的分析思考得到一次经验，得到启发，视野得到扩展，在师生互动的过程中理解多元化的价值观和多样的思维方式，借授人以鱼达到授人以渔的目的。

3.以检查促进预习的执行力。教师可以在课堂上用提问的方式检查学生课前自学情况，或者运用班级学习小组的管理体系进行监督。

预习是培养自主学习能力的重要环节，抓住了这一环节，就等于学生从被动的学开始转化为主动的学。学生带着问题听课，可以更快地把握学习内容的要点，提高学习的效率。

四、教师课堂关注自主学习，关键是学生的参与度

通过课前的预习、自学，学生对新课的内容有了一定的了解。学生带着问题听课，依然要以学生作为主体参与教学过程为特点，来培养学生的自学习惯和主动获取知识的能力。

1.建立小组竞争课堂模式，但不拘泥于“模式”，抓住课堂的根本：学生的主动参与。首先我做的是把班级合理地划分为八个小组，建立一套可行的小组评价机制和小组监督机制。数学课堂主要以小组为依托展开教学。一堂课把评价转嫁在小组上，使得小组的同学积极思考和发言，为小组争取荣誉。

2.问题的开放性设置。要在课堂上对学生进行自学能力的培养，教师可以对一些有思考价值的数学问题的提问方式进行改造。

3.人人可做小老师，方法结论都共享。课堂上，老师不妨把一部分时间交给学生，让学生来讲基本的知识；让学生来点评学生的黑板演练；让学生对同一问题，进行多种方法的讲解；让学生来进行一堂课内容的总结。这种方式促使了学生对自身能力的要求，实施一定的时间后，确实收到了理想的效果。

4.教师点拨，深化探究。这是课堂教学活动的最高境界，老师利用课堂上学生掌握的新知识，去解决生活中的实际问题，既可以对课堂上所学的知识进行深化，同时又可以将学生的思维带入一个更高的层次。