聚焦非线性目标函数的最值问题



聚焦非线性目标函数的最值问题

张世林佘媛媛

(湖北省巴东一中，444300)

在高考试题中,线性规划是高频考点,这类问题有两个难点:一是目标函数非线性;二是求线性规划问题中参数的取值范围．本文就第一类问题目标函数非线性,其最值的求法进行分类解析．

一、斜率型

例1已知实数x,y满足不等式

解条件5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc可化为

当(x,y)对应点C时，

二、距离型

1.点点距离型

(A)5(B)29(C)37(D)49

解作出不等式组表示的平面区域Ω(如图2阴影部分所示,含边界).圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(a,b),半径为1，由圆C与x轴相切,得b=1．

由条件，易得x=6，y=1，即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为(6,1),设此点为P．注意a2+b2表示点(a,b)到原点O距离的平方，又点C∈Ω,则当点C与P重合时,a取得最大值,所以,a2+b2的最大值为37,故选C.

2.点线距离型

三、数量积型(夹角型、投影型)

例5已知点P(x,y)的坐标满足

解(1)如图4，作出满足条件的可行域.根据平面向量数量积的几何意义,可得目标函数

四、直线与圆锥曲线相关位置型

例7设变量x,y满足约束条件

其中k∈R,k>0.

例8设x,y满足约束条件

若z=x2+4y2,则z的取值范围是______．

解根据约束条件画出可行域,z=x2+4y2表示中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,如图7.当此椭圆与直线x+y=1相切时,