探析高校自主招考试题中函数方程的求解策略



探析高校自主招考试题中函数方程的求解策略

浙江省绍兴鲁迅中学(312000)洪建松虞关寿

函数方程是指含有未知函数的等式，即方程两边含有不确定的函数.函数方程与其他知识结合以综合题的形式常出现在近几年的高校自主招考试卷和各级各类竞赛试卷中.函数方程的形式特点虽然较多，但解函数方程没有系统的理论和方法，所以如何求解成为其难点.所谓解函数方程就是求这个方程的所有的解，它实际上是一个探求函数解析式的过程，它尽管没有理论上的指导，但还是可以根据函数方程的特征给出一些基本的求解策略和常用的方法.本文试想通过具体的例子，探析这些方法和策略，供参考.

一、赋值法

所谓赋值法就是根据所给条件，在函数定义域内适当地对自变量赋予某些特殊值或特殊的式子，从而使问题清楚明了.通过赋值简化了函数方程式，抓住了问题的本质，达到了解决问题的目的.

例1函数f(x)对于任意实数x,y，满足f(x+y2)=f(x)+2f2(y)且f(1)≠0，则f(2012)=.

试求：(1)函数y=f(x)的解析式；

(2)常数a的取值范围.

二、换元法

将函数方程中的自变量适当地以别的变量代换，以得到一个新的易解的函数方程.在换元的过程中，不可忽视换元之前与换元之后的等价性，同时要随时注意消元，以减少运算量.

例4已知f(x)是定义在N*上的函数，且满足f(1)=1,f(2)=3,f(x+2)+2f(x)=3f(x+1)，求f(2012)的值.

三、待定系数法

此法适合于当函数方程中的未知函数是多项式时的情形.首先写出多项式的一般表达式，代入函数方程，然而根据两个多项式相等的条件，确定多项式的系数和次数.此法的依据是所给函数方程是未知函数定义域上的恒等式.在解题过程中要充分利用函数的单调性、奇偶性、对称性等函数的性质.

四、“猜想、归纳、证明”法

此法应用于函数迭代问题.将给定的函数先迭代几次，观察得到的规律，加以归纳、总结，然后猜想迭代结论，运用数学归纳法证实猜想结论.应用此法在计算函数值时，应注意周期性规律的变化.

解：根据题设，易求得f(1000)=997,

f(999)=f[f(1006)]=f(1003)=1000,

f(998)=f[f(1005)]=f(1002)=999,

f(997)=f[f(1004)]=f(1001)=998,

f(996)=f[f(1003)]=f(1000)=997,

f(995)=f[f(1002)]=f(999)=1000

f(994)=f[f(1001)]=f(998)=999,

f(993)=f[f(1000)]=f(997)=998,

f(992)=f[f(999)]=f(1000)=997,

f(991)=f[f(998)]=f(999)=1000,

f(990)=f[f(997)]=f(998)=999；…

由此可猜测

解：由条件易得f(1)(2004)=2003,f(2)(2004)=2002,……,f(2004)(2004)=0,f(2005)(2004)=0,f(2006)(2004)=0,…，由此归纳可知当n<2004时，f(n)(2004)>0；当n≥2004时，f(n)(2004)=0.

∴关于n的方程f(n)(2004)=0的最小正整数解为2004.

五、特殊函数法

该法先根据所给函数的结构特点，寻找一些初等函数模型，通过这些特殊函数的性质去解决问题.例如设f(x)是R上的连续函数，且对所有x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),根据这个方程的特征可知这个函数方程的解f(x)=kx(k为常数).

(1)问f(xn)与f(x)有怎样的关系，并说明理由；

(2)如果f-1(x)存在，则f-1(x)具有怎样的性质？并说明理由；

分析：由已知性质马上可与对数函数挂钩，用对数函数的性质即可解决问题.

解：(1)联想对数函数可得f(xn)=nf(x).现说明如下：f(xn)=f(x·xn-1)=f(x)+f(xn-1)=f(x)+f(x·xn-2)=2f(x)+f(xn-2)=…=nf(x).

(2)由于对数函数的反函数是指数函数，故可得这样的性质f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).现说明如下：∵f(ab)=f(a)+f(b)，设t=f(ab)，x=f(a)，y=f(b)，则t=x+y，且ab=f-1(t)，a=f-1(x)，b=f-1(y)，于是得f-1(t)=ab=f-1(x)f-1(y)，f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).

试问：(1)f(x)的奇偶性如何？说明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的单调性如何？说明理由.

综上，f(x)在(0,4a)上是增函数.