等效思想在静电学中的一个应用

赵 强

(西安交通大学理学院，陕西 西安 710049)

等效思想在静电学中的一个应用

赵 强

(西安交通大学理学院，陕西 西安 710049)

本文利用均匀极化的电介质球周围的电场与自由的余弦型球面电荷周围的电场完全等效这一思想，证明了带有余弦型球面电荷分布的电介质球壳发生均匀形变时，其内部的电场始终保持为方向恒定的均匀场，并进一步求出了带电球壳内电场强度和形变之间的关系.

等效思想；余弦型球面电荷；均匀电场

有这样一个有趣的静电学问题：一电介质薄球壳，其表面绝缘地分布着一层余弦型面电荷σ=σ0cosθ.忽略电荷之间的库仑力，同时也忽略电介质球壳自身的内应力，试证明当此球壳在任一方向发生均匀形变而在垂直方向保持不变的情况下，其内部的电场始终为方向恒定的均匀电场.进一步给出此电场与形变之间的关系.

由于一个均匀极化的电介质球表面的极化电荷正好也是余弦型的，因此一个均匀极化的电介质球周围的静电场与一带有自由的余弦型球面电荷的电介质球壳周围的静电场完全等效.并且当均匀极化的电介质球在某一方向均匀发生形变后，其表面上的极化电荷的分布也和带有余弦型面电荷的电介质球壳发生同样的形变后其表面上的电荷分布规律完全一样.基于上述两个原因，我们完全可以将本文问题中的带电的电介质球壳换成等效的均匀极化的电介质球来研究.根据E.M.珀塞尔的观点[2]，均匀极化的电介质，如果其边界为一椭球，其表面的极化电荷将在椭球内部产生一个与极化方向完全相反的均匀电场.至此，本文问题中的立论立刻得到了简洁的证明.下面假设带电球壳在被均匀拉长的前提下，分3种情况进行讨论电场和形变之间的关系(均匀压缩情况和均匀拉伸情况完全类似).

1 将球壳沿θ=0方向均匀拉长

图1 带有余弦型球面电荷的电介质薄球壳

图1为本文问题中的绝缘地带有σ=σ0cosθ面电荷的电介质薄球壳，其半径为a.根据文献[1]，其内部场强的大小为

(1)

若将此球壳沿θ=0方向(即z轴方向)均匀拉长到b(b为椭球半长轴长度)后，薄球壳将会变成以z轴为对称轴的旋转椭球.根据等效思想的观点，可将图1中的带电薄球壳想像为一个极化强度大小为P0=σ0，半径为a的均匀极化球.将想像的均匀极化球沿z轴均匀拉长到b时，由于是均匀拉长，电介质仍为均匀极化，但极化强度将变小.被拉长为椭球的电介质的极化强度的大小为

(2)

由于极化方向沿椭球的旋转对称轴，所以根据文献[3]中的式(14)，椭球内的电场为

(3)

式(3)中的因子N为均匀极化介质椭球的退极化因子.由于被拉长后的椭球为“鸡蛋”型，所以根据文献[3]中的式(13)，N的表达式为

(4)

将式(1)及式(2)代入式(3)，得最后结果为

(5)

为了给大家一个直观的印象，特将k=b/a=2、3、4、5、10时E/E0的值列于表1.

表1 沿θ=0拉长球壳时壳内电场的变化

2 将球壳沿方向均匀拉长

情况2的讨论过程与情况1基本一样.由于在情况2中 将球壳沿和壳内电场垂直方向均匀拉长的，与情况1中有所不同的是其等效的均匀极化的电介质椭球内的电场强度与极化强度的关系由文献[3]中的式(24)给出(仅考虑数值大小)，即

(6)

将式(1)及式(2)代入式(6)，得最后结果

(7)

为了给大家一个直观印像，将k=b/a=2、3、4、5、10时的E/E0的值列于表2.

表2 沿拉长球壳时壳内电场的变化

3 将球壳沿θ=θ0方向均匀拉长

在情况3中，先将球壳中的电场E0分解为沿θ0方向的分量E0cosθ0和垂直于θ0方向的分量E0sinθ0.当沿θ0将球壳拉成半长轴为b椭球壳时，根据情况1中的式(5)，能够得到椭球壳中的电场E在θ0方向的分量为

(8)

同理，根据情况2中的式(7)，得到椭球壳内电场E在垂直于θ0方向的分量为

(9)

最后，椭球壳中电场E的数值为

(10)

从上述的讨论可以看出，笔者之所以一开始就假设带电球壳仅在某一方向发生形变，而在垂直方向不变，这纯粹是为了讨论方便.实际上带有余弦型球面电荷的薄球壳同时沿不同的几个方向发生均匀形变，其内部仍为方向恒定的均匀场.只不过这时椭球壳内电场的数值和形变之间的关系要复杂一些.

变化的过程，存在着不变的东西，多么不可思议的自然界啊！

[1] 钟锡华.电磁学通论[M].北京：北京大学出版社，2014：52-54.

[2] 珀塞尔E M.电磁学.伯克利物理教程第二卷[M].南开大学物理系，译.北京：科学出版社，1979：406.

[3] 赵强，曲哲.均匀电场中的椭球形导体[J].物理与工程，2016，26(1)：23-25.

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AN APPLICATION OF EQUIVALENT THOUGHT IN ELECTROSTATICS

Zhao Qiang

(College of Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049)

In this paper, by using the thought that the electric field around the uniform polarized dielectric ball is completely equivalent to the field around the cosine type spherical charge, we proved a strange phenomenon, which is the internal electric field of a dielectric spherical shell always maintained a homogeneous field with constant direction when the uniform deformation occurred on the dielectric spherical shell with cosine type spherical charge distribution. Then we further calculated the relationship between electric field intensity and the deformation.

equivalent thought; cosine type spherical charge; uniform electric field

2016-02-02

赵强. 等效思想在静电学中的一个应用[J]. 物理与工程，2016，26(5)：16-17.