不倒翁的动力学分析

黄开志 陈小亮 田祖安 丁剑平

(重庆科技学院数理学院，重庆 401331)

不倒翁的动力学分析

黄开志 陈小亮 田祖安 丁剑平

(重庆科技学院数理学院，重庆 401331)

为了潜在的工程应用以及为不倒翁类儿童玩具的设计计算提供参考，建立了不倒翁在圆形曲面上作纯滚动时的动力学方程，给出了其作纯滚动且能回摆的限制条件，分析了其稳定性.求出了其在水平面上作纯滚动时主要动力学参数计算公式，借助软件具体分析了一个不倒翁的运动特征，绘制了其主要动力学参数曲线.发现其角速度、角加速度和法向反力Fn随初始摆角α0递增，而切向摩擦力Ft则随初始摆角α0递减；当α0介于0与0.12rad之间时，摆动周期T与α0近似呈线性关系，且T≤1.01s；当α0超过0.12rad时，T与α0呈非线性关系，且T>1.01s；当α0趋近于π时，T 趋近于无穷大.

理论力学 ; 动力学 ; 不倒翁；临界曲线

文献[1]采用能量法分析了不倒翁的稳定性，同时得到了其在水平面上摆动时摆角和周期的近似解，对于不倒翁的其他主要动力学参数以及其在圆形曲面上的动力学情况，均未分析.

为了潜在的工程应用以及为不倒翁类儿童玩具的设计计算提供参考，本文拟对不倒翁的运动特性和主要动力学参数进行较系统的分析.

1 圆形面支承时的分析

1.1 动力学方程

图1所示半径为r的圆形不倒翁在半径为R的圆形面支承上作纯滚动，设其在支承面的最高点时y轴正好铅垂，则Rφ=rθ，亦即

(1)

图1 力学模型

摆角α满足α=θ+φ，结合式(1)得

(2)

将式(2)代入式(1)得

(3)

点O绕点O′作圆周运动，则

结合式(2)，上述二式变为

质心C相对于点O的加速度为

(6)

上式中，e为质心C与O点间的距离.

(7)

不倒翁作平面运动，由基点法得质心C的加速度满足

aC=aO+aO C

上式沿坐标轴的投影满足

不倒翁动力学微分方程为

由上述3式并结合式(3)～式(9)得

1.2 限制条件

不倒翁纯滚动时满足

Ft

其中fs为静摩擦因数,考虑到式(11)、(12)，上式变为

(13)

不倒翁能回摆，其重力mg对支承点A之矩满足

mgsinα·(rcosθ-e)

结合式(3)，上式变为

(14)

1.3 稳定性分析

以O′点为不倒翁的零势能点，则其势能

V=mg[(R+r)cosφ-ecosα]

结合式(2)，上式变为

(15)

(16)

(17)

2 水平面支承时的分析

2.1 求解

(18)

(19)

由式(18)，得周期

(20)

将式(18)、(19)分别代入式(11)、(12)并考虑到R=∞，得

将式(18)、(19)代入式(13)并令α=α0=αmax，且考虑到R=∞，得不倒翁纯滚动的临界曲线

(23)

考虑到R=∞，式(14)变为

e>0

(24)

由式(15)并考虑到式(24)和R=∞，得

α′=0或α′=π

(25)

由式(16)并考虑到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁稳定平衡时，α′=0

由式(17)并考虑到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁不稳定平衡时，α′=π.

2.2 算例

若取g=9.80665m·s-2，r=0.1m，m1=0.3kg，m2=0.2kg，则m=m1+m2=0.5kg，JC=0.0032kg·m2，e=0.04m.

将这些数据代入(23)，可得到图2所示临界曲线fs—αmax，该曲线和其右侧切线fs=0.245将fs—α平面的Ⅰ象限分割成上下左右四个区域.当点(fs，α)在左区域内时，不倒翁将滑动；当点(fs，α)在其他区域内时，其作纯滚动；当点(fs，α)在fs—αmax曲线上时，其处于临界状态.

图2 α与fs的关系

从图2不难发现：(1)当初始点(fs，α0)位于上区域内时，随着摆角α的减小，点(fs，α)将通过上区域—临界曲线—左区域—临界曲线—下区域，即不倒翁将出现纯滚动—临界—滑动—临界—纯滚动的运动状态；(2)当初始点(fs，α0)位于上区域与左区域交界处(fs，αmax)时，随着摆角α的减小，点(fs，α)将通过临界曲线—左区域—临界曲线—下区域，即不倒翁将出现临界—滑动—临界—纯滚动的运动状态；(3)当初始点(fs，α0)位于左区域内时，随着摆角α的减小，点(fs，α)将通过左区域—临界曲线—下区域，即不倒翁将出现滑动—临界—纯滚动的运动状态；(4)当初始点(fs，α0)位于左区域与下区域的交界处(fs，αmax)时，随着摆角α的减小，点(fs，α)将通过临界曲线—下区域，即不倒翁将出现临界—纯滚动的运动状态；(5)若要其始终纯滚动，则初始点(fs，α0)须在右区域或下区域内.

在图2所示fs—αmax曲线的右区域取点(0.25,π)、(0.25,π/2)，在下区域取点(0.23,1.0)，分别代入式(18)～式(22)计算，即在式(18)～式(22)中分别令α0=π、π/2、1.0，并考虑到上述设定参数，借助软件如Maple等可得到图3～图7.

图与α的关系

图与α的关系

图5 T与α0的关系

图6 Ft与α的关系

图7 Fn与α的关系

从图5发现：当α0介于0与0.12rad之间时，摆动周期T与α0近似呈线性关系，且T≤1.01s；当α0超过0.12rad时，T与α0呈非线性关系，且T>1.01s；当α0趋近于π时，T趋近于无穷大.

3 结语

在分析过程中忽视了机械能损失；若支承为下凸圆形面，则R取负值即可.

[1] 曹春梅,张晓宏.不倒翁的力学分析[J].物理与工程, 2002，12(1):10-11.

[2] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(Ⅰ)[M].7版.北京:高等教育出版社，2009:271.

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DYNAMICS ANALYSIS OF DARUMA

Huang Kaizhi Chen Xiaoliang Tian Zu’an Ding Jianping

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331)

In order to provide reference for potential engineering application and design and calculation of kid toys similar dearuma,we setablished the dynamics equation of pure rolling of daruma on a circular surface,gave the limiting conditions of its pure rolling and seing back,and analyzed its atability.The calculation fromula of main dynamics paramerters was solved when it pure rolled at horizontal plane surface,With the help of software,we concretely anayzed the motion characteristics of one daruma as an example,and draw its main dynamic parameters vurves.Our results found that its angular velocity,angular accelerationand normal force Fnincreased along wigh the increase of initial angular α0, but tangential friction force Ftdiminished along with the increase of initial angular α0, Whenα0is larger than 0.12rad, swing cycleTandα0are in nonlinear relationship, andT>1.01s. Whenα0tends to π,Ttends to infinity.

theoretical mechanics; dynamics; daruma; critical curve

2015-01-13

重庆科技学院本科生教育教学改革研究项目(CK2011B25)和研究生教育教学改革研究一般项目(YJG2014y008)资助项目.

黄开志，男，教授级高工，主要从事力学教学及研究.mocd361@163.com

黄开志 ，陈小亮 ，田祖安，等. 不倒翁的动力学分析[J]. 物理与工程，2016，26(5)：85-88.