将“转化”进行到底

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将“转化”进行到底

□左效平

转化是数学学习中的一种最基本，也是最重要的思想方法，数学解题的每一步都离不开转化，下面我们通过一道有关反比例函数的中考题的解答看看转化是如何进行的.

例题如图1，反比例函数y＝k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD.

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d＝MC＋MD最小，求点M的坐标.

图1

图2

分析：第一问：确定反比例函数的k值，只需要函数图象上一个点的坐标即可，而突破这个关键的条件在于两点，一是点A的坐标的意义：A（1，3）转化成线段的长度为AB＝3，OB＝1，AB与x轴垂直；二是给出的条件AB＝3BD展示出的意义：3＝3BD，从而确定BD＝1，此时BD的长度恰好是点D的纵坐标，于是我们想要的图象上的一个点D的坐标，就应运而生，为（1，1），求k就不在话下了.

第二问：点C是反比例函数与一次函数的交点，因此它的坐标一定同时满足两个函数的解析式，在两个函数的解析式都已经明确的情况下，将它们联立建立起二元一次方程组，方程组的解就是交点的坐标，从而把交点的坐标求解问题转化成求由解析式构成方程组的解，这再次体现了转化思想的重要性.

第三问：线段和的最小值问题，求解时，我们常用的策略是“将军饮马”数学模型，通过构造对称点的方法，确定线段和最小时的动点位置，然后利用求函数解析式交点的方式，确定符合条件的点的坐标.熟知“将军饮马”数学模型，并灵活构造对称点，是解题的关键.

解：（1）因为A（1，3），所以AB＝3，OB＝1.因为AB＝3BD，3＝3BD，所以BD＝1，得D（1，1）.因为点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，所以1＝，解得k＝1.

（3）如图2，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则此时的点M，能使d＝MC＋MD最小.因为，所以C′（因为点D的坐标为（1，1），设直线C′D的解析式为y＝kx＋b，

反思：通过这道题的求解，我们懂得了如下内容：

1.点的坐标解题时可以转化成相应线段的长度；

2.相关线段的长度，根据点的位置，可以转化成点的坐标；

3.交点坐标的确定转化为相应解析式联立组成的方程组的解；

4.函数解析式的确定转化成待定系数法；

5.线段和的最小值转化成“将军饮马”数学模型；

6.符合条件的点的坐标转化成方程组的解.

总之，这道题自始至终都贯穿一条主线，这就是数学中的转化思想，只有当我们明确知识间是如何相互转化的，借助什么转化的，我们的数学解题才升级成真正意义上的解题，解题的效率和准确率才会提升.