“矩阵与变换”高考复习课堂在线

一、聚焦考纲

1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系.

2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示.

3.理解变换的复合与矩阵的乘法，理解二阶矩阵的乘法和简单性质.

4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵.

5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.

二、知识梳理

1.矩阵的乘法规则

（1）行矩阵[a11a12]与列矩阵b11

b21的乘法规则：[a11a12]b11

b21=a11×b11+a12×b21.

（2）二阶矩阵a11a12

a21a22与列向量x0

y0的乘法规则：a11a12

a21a22x0

y0=a11×x0+a12×y0

a21×x0+a22×y0.

设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则

①A（λα）=λAα;②A（α+β）=Aα+Aβ;③A（λ1α+λ2β）=λ1Aα+λ2Aβ.

（3）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

a11a12

a21a22b11b12

b21b22

=a11×b11+a12×b21a11×b12+a12×b22

a21×b11+a22×b21a21×b12+a22×b22.

性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律;②矩阵的乘法满足结合律，即（AB）C=A（BC）;③矩阵的乘法不满足消去律.

2.矩阵的逆矩阵

（1）逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵B是唯一的，通常记A的逆矩阵为A-1，A-1=B.

（2）逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A=ab

cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩阵为

A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

（3）逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax+by=m

cx+dy=n的系数矩阵A=ab

cd可逆，

那么该方程组有唯一解x

y=ab

cd-1m

n，其中A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

3.二阶矩阵的特征值和特征向量

（1）特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值的一个特征向量.

（2）特征多项式与特征方程

设λ是二阶矩阵A=ab

cd的一个特征值，它的一个特征向量为ξ=x

y，则Ax

y=λx

y，即x

y满足二元一次方程组ax+by=λx，

cx+dy=λy，

故（λ-a）x-by=0

-cx+（λ-d）y=0λ-a-b

-cλ-dx

y=0

0（*），

则（*）式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式λ-a-b

-cλ-d=0.

记f（λ）=λ-a-b

-cλ-d为矩阵A=ab

cd的特征多项式;方程λ-a-b

-cλ-d=0，

即f（λ）=0称为矩阵A=ab

cd的特征方程.

（3）特征值与特征向量的计算

如果λ是二阶矩阵的特征值，则λ是特征方程f（λ）=λ-a-b

-cλ-d=λ2-（a+d）λ+ad=-bc=0的一个根.解这个关于λ的二元一次方程，得λ=λ1、λ2，

将λ=λ1、λ2分别代入方程组（*），分别求出它们的一个非零解x=x1，

y=y1，x=x2，

y=y2.

记ξ1=x1

y1，ξ2=x2

y2.则Aξ1=λ1ξ1、Aξ2=λ2ξ2，

因此λ1、λ2是矩阵A=ab

cd的特征值，ξ1=x1

y1，ξ2=x2

y2为矩阵的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量.

三、考点直击

“矩阵与变换”内容不多，却在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及这个的内容的主要考点有哪些呢？

1.二阶矩阵与平面向量乘法的应用

例1已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.

（1）求出矩阵M;

（2）确定点D及点C′的坐标.

分析：已知在矩阵M对应的变换作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩阵M，再由矩阵M可求出点D及C′的坐标.

解：（1）设M=ab

cd，则有ab

cd1

1=3

-3，ab

cd-1

1=1

1，

故a+b=3

c+d=-3

-a+b=1

-c+d=1，解得a=1，b=2，c=-2，d=-1，∴M=12

-2-1.

（2）由12

-2-1-1

-1=-3

3知，C′（-3，3），

由12

-2-1x

y=-1

-1得，x+2y=-1

-2x-y=-1，解得x=1

y=-1.∴D（1，-1）.

评注：1.本例中已知“前”点，“后”点求M是解题的关键，根据二阶矩阵与平面向量的乘法列出方程组后求矩阵.2.第（2）问中点D是“前”点，点C′是“后”点.解题过程中一定要分清，顺序颠倒是常见的错误.

2.二阶矩阵与曲线的变换

例2变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）.

（1）求变换T的矩阵;

（2）圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？

分析：本例已知变换T前后点的坐标，故先求出变换T的矩阵后，再利用此矩阵可求出圆C变换后的曲线方程，从而判断图形形状.

解：（1）由已知得T：

x′

y′=Ax

y=2x

4y=20

04x

y，

∴变换T的矩阵是20

04.

（2）由x′=2x，y′=4y，得x=12x′，y=14y′.代入方程x2+y2=1，得14x′2+116y′2=1，

∴圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了椭圆x24+y216=1.

评注：1.本例（1）中通过前后点的坐标的关系观察得出矩阵，也可以设出矩阵A=ab

cd，列出方程组后求a，b，c，d，从而求出矩阵A;2.求出变换后的曲线方程后含有x′，y′，最后下结论时应改为用x、y表示.

3.逆矩阵的求法及其应用

例3已知A=1-2

2-1.

（1）求逆矩阵A-1;

（2）若矩阵X满足AX=1

-1，求矩阵X.

分析：本题可直接利用公式求逆矩阵.

解：（1）|A|=1×（-1）-（-2）×2=3，

∴A-1=-1323

-2313.

（2）∵AX=1

-1，

∴X=A-11

-1=-1323

-23131

-1=-1

-1.

评注：求逆矩阵的方法各有千秋，有方程思想的体现，有公式法的简洁展现，有线性变换的巧妙揭示，解题的过程中应根据题目条件特点，恰当选取最优方法解题.求逆矩阵的常见方法：

（1）待定系数法：设A是一个二阶可逆矩阵ab

cd，AB=BA=E;

（2）公式法：|A|=ab

cd=ad-bc，有A-1=d|A|-b|A|

-c|A|a|A|，当且仅当|A|≠0;

（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵;

（4）利用逆矩阵的性质（AB）-1=B-1A-1.

4.求矩阵的特征值，特征向量

例4求矩阵21

12的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

分析：求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行，先写出特征多项式，并求出特征值.

解：特征多项式f（λ）=λ-2-1

-1λ-2=（λ-2）2-1=λ2-4λ+3，

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3，将λ1=1代入特征方程组，得-x-y=0

-x-y=0，

即x+y=0，可取1

-1为属于特征值λ1=1的一个特征向量.

同理，λ2=3时，由x-y=0

-x+y=0，即x-y=0，所以可取1

1为属于特征值λ2=3的一个特征向量.

综上所述，矩阵21

12有两个特征值λ1=1，λ2=3;属于λ1=1的一个特征向量为1

-1，属于λ2=3的一个特征向量为1

1.

评注：求矩阵的特征向量及特征值时，准确写出特征多项式，解出特征方程的根是解题的前提.列出线性方程组后，根据系数特点恰当赋值求出特征向量，最后注意特征向量与特征值对应要准确.求矩阵A=ab

cd的特征值，特征向量的步骤：第一步、列特征多项式f（λ）=λ-a-b

-cλ-d.第二步、求f（λ）=0的根，即特征值.第三步、针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非零解，即特征向量.

5.Anα简单表示

例5若10

21A=12

18，α=-3

-1.求A2α.

分析：本题涉及矩阵的乘法运算，Anα的表示，求出矩阵后可利用公式Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2求A2α，也可以直接求出A2后求A2α.

解：令M=10

21，∴|M|=1×1-0×2=1，

∴M-1=10

-21，

∴A=M-112

18=10

-2112

18=12

-14.

方法一：矩阵的特征多项式为

f（λ）=λ-1-2

1λ-4=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.

当λ1=2时，得α1=2

1;当λ2=3时，得α2=1

1.

又α=-2α1+α2，∴A2α=A2（-2α1+α2）=-2A2α1+A2α2=-2λ21α1+λ22α2=-232

1+321

1=-7

1.

方法二：A2=12

-1412

-14=-110

-514，∴A2α=-110

-514-3

-1=-7

评注：（1）设A是一个二阶矩阵，α是矩阵的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα=λnα（n∈N*）.（2）设λ1，λ2是二阶矩阵的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α=t1ξ1+t2ξ2（其中t1，t2为实数），则对任意的正整数n，有Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2.（3）对于求解Anα的问题，一般可利用矩阵的特征值求特征向量来解决，对n较小的情况，也可直接采用矩阵乘法来解决.

四、规律总结

1.矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等.

2.矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律.

3.对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换.

4.伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合.

5.逆矩阵的求法常用待定系数法.

6.若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有（AB）-1=B-1A-1，若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB=AC时，有B=C，即此时矩阵乘法的消去律成立.

7.求Mnα，一般都是先求出矩阵M的特征值与特征向量，将α写成t1α1+t2α2.利用性质Mnα=t1λn1α1+t2λn2α2求解.

（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）