整体建构问题引领———关注几何图形的研究方法

李海东（人民教育出版社中学数学室）



整体建构问题引领
———关注几何图形的研究方法

李海东（人民教育出版社中学数学室）

摘要：类比三角形的研究思路构建四边形的研究思路，发挥了章引言教学的先行组织者作用；从研究几何图形的组成要素之间的位置关系和数量关系入手，设计层层深入的问题，引导学生探究平行四边形的性质，体现了研究几何图形性质的基本思路.

关键词：整体建构；问题引领；研究方法

这节课是这次展示活动的指定课题.我们先来看一看学会对这个指定课题的说明.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.在明确什么是图形的性质的基础上，通过类比三角形的性质，从整体上提出平行四边形性质的猜想，给出证明，要体现研究几何问题的基本套路，渗透推理的基本思想.王用华老师这节课很好地体现了学会对这节课的要求.

首先，这节课是平行四边形一章的起始课，王老师重视了章起始课的教学.我们知道，引言是全章的起始、序曲，是全章内容的引导性材料，好的开头是成功的一半.引言课中，除了引入本章的内容以外，还应起到先行组织者的作用，要让学生了解本章要学习的主要内容，要构建一个本章的研究脉络，起到一个“导游图”的作用.我们这次在黄山开会，可能很多教师会后要去黄山.拿到黄山导游图，我们首先要看里面有哪些景点，这就是我们这章要学的主要内容，还要设计一个游览路径，把我们想要去的景点联系起来，这就是我们这章的研究脉络.王用华老师通过让学生回顾三角形的学习内容和研究脉络，构建了四边形的研究内容和研究脉络，让学生对本章内容有了一个整体的了解，使他们在后续学习与研究中能见木见林，增强学习的预见性与主动性.这种整体建构，体现了策略性知识的教育价值.

其次，对平行四边形性质的研究，王老师的处理也体现了研究几何图形的性质的策略.我们知道，研究一个几何图形，势必要研究其性质.“什么是图形的性质？研究对象有哪些性质？如何展开研究？”是应着力解决的三个问题.一般地，图形的性质就是指图形组成要素之间确定的关系，其中组成要素包括基本要素（如边、角）与相关要素（如对角线），关系包括位置关系（如垂直、平行）与数量关系（如相等、倍分）等.具体而言，平行四边形的性质就是要研究平行四边形边之间、角之间、对角线之间的数量或位置关系.本节课将边、角、对角线的性质一并探究，让学生经历完整的几何图形性质研究的一般过程.在研究过程中，通过步步深入的问题引导学生进行探究.回看性质探究的全过程：图形的性质是指组成图形的要素之间的位置关系和数量关系，对于任意一个平行四边形，它的组成要素是什么？它们之间具有什么位置关系和数量关系？——通过观察、度量，我们已经发现平行四边形的对边相等、对角相等，如何证明它们？我们学过哪些证明边相等和角相等的方法？——在证明平行四边形的对边相等、对角相等时，我们通过连接它的一条对角线，把平行四边形转化成了两个全等的三角形.实际上，对角线也是平行四边形的一个组成要素，那么平行四边形的对角线有什么性质呢？——把平行四边形的两条对角线都连起来，从它们的位置关系和数量关系的角度观察，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？——通过本节课的学习，你学到平行四边形具有什么性质？这些性质有什么作用？这节课的研究思路是什么？这节课我们学习了平行四边形的性质，你觉得下节课我们该研究什么？等等.整个探究过程呈现的正是几何图形性质研究的“一般套路”与“问题解决”的全过程，经历这样的过程、领悟并掌握这些套路是学生积极而主动进行后续学习的强大推动力.

另外，王用华老师在这节课中也十分重视研究几何图形的基本方法：从几何直观到推理论证.几何直观和推理能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的两个核心概念.从几何直观到推理论证也正是我们研究几何图形的基本方法.本节课，王老师并没有像一般的讲法那样，让学生通过动手操作，去测量、验证对边相等、对角相等等性质，而是直接从图形组成要素之间的位置关系和数量关系，即图形的性质作为出发点，引导学生利用几何直观，发现图形的性质，再利用推理证明这些性质.在证明过程中，引导学生通过连接对角线，将平行四边形问题转化为三角形问题.实际上，我们知道，将四边形问题转化为三角形、平行线等问题也是我们研究四边形的一个基本套路.平行四边形和两个全等的三角形相联系，特殊的平行四边形和特殊的三角形相联系（如矩形和直角三角形、菱形和等腰三角形、正方形和等腰直角三角形）.这些思想方法贯穿始终、润物无声的有效渗透，对学生良好认知结构的构建、优秀思维品质的形成都将起到积极的推动作用.在推理论证过程中，王用华老师也注意学生基本功的训练，注意让自己、也让学生书写证明过程.对于技术的使用也比较到位，没有将完整的解题过程一下子呈现在屏幕上，幻灯片只是起到一个小黑板的作用.对于这节课来讲，还是比较恰当的.

总体而言，王用华老师这节课整体建构、紧扣本质、思想渗透、引领得法，很好地体现了学会对这节课的要求，也是对本真、自然的数学教学有益的探索.

对于这节课，笔者还有一个进一步的建议.本节课在类比三角形的研究得出四边形的研究思路后，到了平行四边形就开始进入对它的性质的研究了.笔者认为这里还可以更进一步，将特殊的平行四边形，也就是矩形（长方形）、菱形、正方形的问题提出来.这些图形学生小学都有所了解，可以进一步将它们的关系建立起来，构建出一个完整的本章的研究问题和研究脉络.

最后，也谈谈笔者对数学教学的看法.教学这个词由教和学两个字组成.包括教师的教和学生的学.首先是教师的教，主要是教什么和怎么教.数学教学应该教什么？不仅要教知识，还要教思想方法这是大家的共识.除此之外，笔者认为还有一点很重要，那就是要教学生怎么学.这就要求我们教师在教学中要关注学习方法、研究方法的引导，把学习数学的方法渗透给学生.这一点今天王用华老师的这节课可以说给我们做了很好的示范.王老师通过章引言和性质的教学，构建了整章的研究思路，向学生呈现了研究图形性质的基本套路.笔者认为，如果教师每一节课都关注这一点，学生的学习能力会有很大的提高，这对于学生来说是终身受用的.

同样，学生学数学应该学什么？除了知识、技能以外，更重要的是数学的思想方法和数学中所蕴含的理性精神.数学是一个融知识、技能、方法、思想、精神为一体的整体.但学生学习的知识和技能，往往只是考试的数学，而不是真正的数学.另外就是怎么学数学，这又和教师怎么教相联系，不管是讲授也好、探究也好，关键是学生在学习过程中独立思考了没有、智力参与了没有.这就需要教师提出好的问题，通过好的问题的引导和启发，让学生自己去思考、自己去探究、自己去发现，成为学习的主动者.

2012年党的十八大报告中明确提出立德树人是我们教育的根本任务，也就是说“育人”目标是我们教育的核心目标，而数学教学的育人功能在哪里？应当是学生数学素养的提升.而要提升学生的数学素养，需要我们整体把握数学教学，以数学知识发生、发展过程的内在逻辑为基础，加强研究方法的引导，使学生不仅学会具体的数学知识和技能，更能体会其中蕴涵的思想方法，学会如何发现和提出问题，如何思考解决问题的思路.这样，数学的育人目标才能更好地实现.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

收稿日期：2015—12—01

作者简介：李海东（1973—），男，编审，主要从事中学数学课程教材教学研究.