例谈巧构一元二次方程解题策略

湖北省恩施市舞阳中学　黄树军　谢东银

例谈巧构一元二次方程解题策略

所谓解题策略是在掌握了一般解题方法,并积累了大量解题过程分析经验之后,既体现由实践上升为理论,又体现理论指导实践的一个重要课题.在解题过程中迅速找到较优解题操作的基本功能,能减少尝试与失败的次数,能节省探索的时间和缩短解题长度,体现出方法的机智和组合的艺术.本文将对看似不是一元二次方程的问题,通过合理构造或寻求一元二次方程,使之转化为一元二次方程的问题来求解.

有关一元二次方程,我们不难想到它本身的三大主题:一是求根(特别是特殊解);二是根的判别式;三是根与系数的关系.利用这些关系可以通过巧妙构造一元二次方程,进而简捷、有效地解决有关问题.

一、由判别式的形态构造一元二次方程

我们知道Δ=b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式,于是从它的形态可以构造一元二次方程,并由根的情况加以求解.

解析:我们把已知条件变形为(b-c)2-4(a-b)(c-a) =0,这说明当a-b≠0时,关于x的一元二次方程(a-b)x2+ (b-c)x+(c-a)=0有两个相同的实数根,又方程系数之和为0,则x=x=1,于是=2,即2a=b+c.故=2.

例2若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列.

证明:由题设,当x-y=0时,有x=y=z,显然x、y、z成等差数列;当x-y≠0时,则可作关于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0,此方程有两个相等的实数根,即t=t=1,所以=-2,整理得z-y=y-x.所以x、y、z成等差数列.

二、由根与系数的关系形态构造一元二次方程

我们知道,若a、b满足a+b=-p,ab=q,则a、b为关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根.利用这一关系,同样可以构造一元二次方程解题.

例3已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求a4+b4+c4的值.

解析:由于a+b=-c,a2+b2=4-c2,则ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=c2-4.

所以,a、b是关于x的一元二次方程x2+cx+c2-4=0的两个实数根.

所以a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(4-c2)2-2(c2-4)2=-c4+ 8c2-16.

所以a4+b4+c4=8c2-16.

又c2=4-(a+b)2+2ab=3c2+12,所以c2=3.

所以a4+b4+c4=24-16=8.

三、由二次函数的图像特征寻求一元二次方程

二次函数ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)有着十分密切的联系,而且此类问题内容丰富,解题思路灵活多样.

例4设二次函数(fx)满足(fx+2)=(f-x+2),且它的图像与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为2.求(fx)的函数解析式.

解析:由(fx+2)=(f-x+2)得抛物线的对称轴为直线x=2.又图像在x轴上截得的线段长为2,易知抛物线与x轴的两个交点为(2-,0)和(2+,0),从而所求抛物线解析式所对应的一元二次方程为x2-4x+2=0,所以(fx)=a(x2-4x+2),将点(0,1)代入,得a=.故(fx)=

四、从所给条件等式中寻求一元二次方程

解得x1=5,x2=-3(舍去),所以a=25b.

解析:去分母,得1+3-x=3+3.3x,令3x=y,则原方程可化为3y2+2y-1=0,解得y=-1(舍去),y=.

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从而3x=3-1,故x=-1.

从以上各题的解答过程可以看出,合理构造或寻求一元二次方程,是一种重要的解题策略.值得我们认真思考.