动态课堂中教与学的平衡

☉江苏省南通中学　李维坚

动态课堂中教与学的平衡

☉江苏省南通中学李维坚

人们在实践中以基本的数学教学范式为中心创建了形形色色的教学模式.对一个教师来说，在长期周期性的数学教学实践中，很容易形成一种静态的、固化的、一成不变的教学模式.大多情况下，最初建立的师生教学关系在经过一段时间的磨合之后，教与学的动态关系就在一定条件下建立起了相对平衡.教与学的平衡的达到反映出师生双方形成的一种习惯、一种互相的适应，一种不言自明的默契，即教师此时形成了一种个性化的教学模式.在教师的教学惯性之下，这一模式有可能延伸下去，形成一种静态的教学模式，在课堂中贯穿始终、无处不在.

但从动态生成的角度看来，这一静态教学模式应该是消极且机械的，师生、生生的主体互动的有效发挥受到了很大限制，思想方法的交流与传播也会受到极大的阻滞，学生的创造、知识的生成也都被制约.静态教学模式的构成在教与学的关系角度看来，仅仅是建立了一种消极平衡，这种平衡只不过是教学双方矛盾的一时静止、暂时妥协而已.教与学矛盾的激化和冲突随时有爆发的可能.矛盾是事物发展的根本原因，因此，教与学的平衡必然是应当移动的，但这需要教师主动积极为之.

下面以《二项式定理》例加以阐述：

在《二项式定理》新授课，笔者预设了如下的引入：今天是星期一，那么8天之后是星期几？83天后是星期几？8100天后呢？

笔者的本意是从一个简单的情形入手，然后加大问题的难度，从学生的最近发展区入手，构建新的知识模型.只是，学生的生成再次让笔者反思.

当时的教学片断：

生1：8天后是星期二，83天后还是星期二.

师：为什么呢？

生1：这个问题就是要找到被7除的余数，8和83被7除均余1.

师：那么8100呢？

生1：让我想一下.

我以为8100会自然地被写为（7+1）100，然后引出本课研究的内容：二项式定理.

但结果却大相径庭.

生1：我觉得余数还是1.

师：为什么？

生1：猜的.

笔者正欲引导.

生2：肯定是1，应该可以证明.我计算了82，83，84，85，发现它们被7除，余数均为1.由此我猜想8n（n∈N）被7除，余数是1.我们可以用先前学的数学归纳法来试一试.

生2的想法，远在笔者的预设之外，在预设中，笔者一味地考虑到情境的引入，却没有将问题考虑周全.在

Y笔者正在反省时，生2继续道：其实我就这么想想，感觉把8写成7+1，然后100个（7+1）相乘，按照7的指数高低排列，有很多项，但是除了1个，其余均为7的倍数.

笔者当时就在心中感叹，生2不但有了归纳、猜想、证明的一套思想方法，而且也具有了非常好的直觉思维能力，同时二项式定理的基本模型也已形成.

这个生成的效果远远高于笔者的预设.于是笔者准备首先请学生用数学归纳法来证明这个结论，然后再来接着解决这100个（7+1）的乘积.

生3：（1）当n=1时，结论成立；

（2）假设当n=k时，结论成立，即8k被7除余1，记为8k= 7m+1，m∈N，则当n=k+1时，8k+1=8（7m+1）=7（8m+1）+1被7除也余1.

综合（1）（2）可得，8n（n∈N）被7除余数是1.

在学生的生成的基础上，笔者也将问题作了改动.

师：很好.那么如果把8改为9，那么此时这个问题的答案又是多少呢？

生4：按照刚才生3所说的两种想法，数学归纳法肯定不行了，因为余数变了.

生5：不过可能也呈现出周期性呢，只是需要花时间计算一下.

师：那么我们不妨来探究一下（7+1）这100个括号相乘，按照7的指数高低排列化简后的结果是什么呢？其实在推理案例的时候我们就遇到过这样的问题啊.

生5：对，求自然数的n次方的和最后推广时遇到过.

师：（7+1）100=？

生6：我猜肯定是形如“__7100+__799+…+__71+1”的形式，只不过前面的系数还没有考虑好.

师：比如75这个项从何而来呢？这100个括号（7+1）（7+ 1）…（7+1）相乘，75从何而来？

生6：是5个7相乘而得的.

师：这5个7从何而来？

生6：来自5个括号.

师：哪5个括号？

生6：哦，我明白了，从100个括号里面任选5个，75的系数就是C5100.

师：太好了，以此类推，那么（7+1）100=？

师：果然不出生2所料，这100个括号我们解决了.那么将这个问题一般化我们可以有怎样的推广呢？

生7：解决刚才的问题（7+2）100.

生8：解决（a+b）n的展开结果.

师：好，我们不妨首先来解决（a+b）n的展开结果.

生8：这个的展开式按照a降幂排列应该是从n到0.

师：那么此时的b呢？

生8：我想一想.

师：我们可以回到这（a+b）（a+b）…（a+b）这n个括号相乘.想一想，如果有了an，那么也就是说从这n个括号里面我们取了n个a了，每个括号都取的是a，那么b呢？

生8：没有一个括号取b，也就是在n个括号里都取a的同时，就没有一个括号取b，就是

师：很好，那么ar所对应的项是什么？

生7：那可以解决刚才那个问题了吧.

师：生7还念念不忘呢.

啊，又出现了2100，要看它被7除余几呢？

师：刚才8，9我们可以改写，那么现在呢？

生7：把2100写成2×299=2×（23）33=2×833=2×（7+1）33，哈哈，余数是2啊.

师：真不错，将问题很好地实现了转化，课后大家不妨再思考一下周期性.

笔者心里暗自想，不知不觉中，我们从问题引入到定理，再回过来用定理解决问题.同时，也让学生感受到在处理整除性问题时，我们有时可以采用数学归纳法，有时可以利用刚刚学会的二项式定理来研究问题.

本节课后，笔者反思了很多.数学教学过程从本质上来说是教师促进学生思维发展、人格完善的过程，问题是促进学生思维发展的载体.问题通常有两种来源：一是教师抛出“问题”；二是学生提出“问题”.但目前数学教学过程中，绝大多数问题是教师抛给学生的，学生的“问题意识”和“如何提问”有待教师的发掘.在本节课中，问题是由教师先抛向学生的，难能可贵的是学生的生成促使教师进行新的思考，调试下一个新的教学平衡.

课堂中，教与学要从消极平衡过渡到积极平衡，那么教学必须有因“材”施教，因“人”而异，因“境”而变.克服模式化教学的有效手段之一就是动态生成的课堂.一旦旧的平衡不适应新的问题情境时，教师就必须适当地强化或改变教学双方的交流互动，适当地添加或强化一些积极因素、抑制一些消极因素，打破不适应教学生成的教与学的旧平衡系统，建立更高一级的教与学的平衡.经常被适时调整的教与学的平衡，是积极的、能动的平衡，这种平衡可以适应不断变化的教学的实际需要，也促使教学模式有了更深一层动态变革的特征.