生动·生长：数学课堂的气质要素

☉浙江省杭州师范大学附属中学　蔡小雄

☉浙江省德清县高级中学　江战明

生动·生长：数学课堂的气质要素

☉浙江省杭州师范大学附属中学蔡小雄

☉浙江省德清县高级中学江战明

谈到数学，特别是中学数学总会给人一种“单调、抽象、枯燥”的印象.我们可以堂而皇之地把原因归结为学科特点：教材的千篇一律、内容的单一死板、概念的高度抽象、习题的复杂多变……使得简单讲解、机械模仿、重复操练成了“最低成本”“最为流行”的教学方式.为了获得应试的短期效应，教师往往忽视概念与方法的形成过程，忽视知识的来龙去脉，只教结论，不教过程，只要求知其然而不要求其知其所以然.许多学生花了大量时间，做了无数练习，最终既没考好数学，也没学好数学.久而久之，数学课堂变得“了无生气”，数学变得魅力尽失.这是数学的不幸.当然，并非所有的数学课堂都如此，也并非所有的数学教师都甘于随波逐流，随着课程改革的不断深化、广大数学教师的观念也在不断转变中.数学课堂也可以充满“生”机，甚至“生”“生”不息”.

一、生动：内容生动，讲解生动，让“生”“动”得欢

教育心理学认为，“兴趣是一个人倾向于认识、研究、获得某种知识的心理特征，是推动人求知的一种内在力量.”虽然数学教学不可能像语文、历史那么有故事性，趣味性，也不能像物理、化学那样可以有丰富的实验和众多的生活、自然现象为学习内容，但数学中的很多概念我们一样可以通过形象的事例或情境进行生动地讲解.正如华罗庚先生所说，认为数学枯燥无味、没有艺术性，这看法是不正确的，就像站在花园外说花园里枯燥乏味一样，只要你踏进了大门，你们随时随地都会发现数学上也有许许多多很有趣味的东西.关键在于，教师要改编教材、丰富教材、创造性地使用教材，用生动的内容，生动的讲解吸引学生.课堂上，教师要适时创设情境，鼓励学生多动口、动手、动脑、动心.

1.教材内容生动化

数学教材一般都是按“提出问题（较为直观的现象）→形成概念（定义）→例题讲解→练习与习题”来编写的.“传统上人们认为数学是绝对的客观真理，数学教学只注重数学结论的系统性、严谨性、科学性，却忽略它的历史性、建构性、文化性.”实际上，数学中有很多概念可以具体化、情境化甚至可以地方特色化，关键看如何处理教材.

以函数概念为例，它应该是高中数学中最抽象、最“别扭”的概念，而且初中对函数就有定义（变量说），学生根本就不会明白为何要重新定义函数（对应说），难道仅仅是因为前面学习了集合？其实两个定义的本质是一致的，但因为后者更抽象，所以它更具一般性.人教A版必修1在给出函数定义之前，例举了“炮弹发射后时间与炮弹高度之间的关系”、“近几十年时间与臭氧层空洞面积关系”、“‘八五’计划以来我国城镇居民的恩格尔系数”三个实例，然后让学生归纳出共同点，这也算是用心良苦.事实上，仅从这三个例子学生难以找出共同点，教材为了追求简洁明了只能如此编写，但教师如果照搬教材，显然难以取得理想的效果，这时就需要加工、处理教材.笔者以为可以让学生先例举他们熟悉的函数；接着让他们画出函数图像，再由教师例举一些情景让学生判断能否构成函数关系.例如，学生一周中每一天的消费情况、学生姓名与成绩之间的联系、学生学号与成绩之间的联系等.在大量的实例面前，引导学生从集合和对应的角度来归纳出能构成函数关系所具有的共同点.

要增加数学课的魅力，让学生投入其中，教师应该丰富教材内容，把教材内容适当情境化、趣味化、特色化，既保持教材原有的科学性，又符合学生认知的最近发展区.

2.内容讲解生动化

数学教材因为严谨性、科学性、简洁性的客观需要，它不可能编写得像文科教材那样诗情画意，也不可能像物理、化学、生物那样既能抽象又能具体还可以实验；更不可能像小说那样或趣味横生或紧张、刺激，但我们也可以借题发挥、因势利导，化腐朽为神奇.

数学中的绝大部分内容都是可以发挥的，很多枯燥的内容通过教师声情并茂的讲解会变得“悦耳、动听”，很多貌似很难的问题通过教师的巧妙铺垫、适当引导会变得“简单、明了”.

3.让“生”“动”起来

教学的主体是学生，如果没有学生积极的参与，即使教材处理得再漂亮，教师讲解得再生动都是徒劳，让学生“动”起来是教学的关键.这里的“动”应包括手动、口动、脑动与心动.

我们不得不承认大多数的数学课堂总是看到教师在“喋喋不休”，成了教师的“独角戏”，教师总是恨不得把自己知道的全部塞给学生.可以说每一位教师都有一颗“奉献”的心，但很多时候教师的辛勤付出换来的不一定是学生的“理解”，甚至可能是反感.大量实践证明，教师“保姆”式的“伺候”只能是事倍功半.事实上，教学中有很多问题可以让学生独自或通过合作去完成，不要担心教学进度，不要担心学生会不会，更不用担心教学效果，要相信学生的潜力是无穷的.

以正弦定理的新课教学为例，可以先给学生两个问题，一个是“已知三角形两边及其中一边的对角，求另一边的对角”；另一个是“已知三角形两角及一角的对边，求另一角的对边”，组织学生合作完成.待学生完成后，教师再抛出第三个问题“任意一个三角形如果已知两边及一边的对角或已知两角及一角的对边能否解三角形”.因为在前面解题过程中学生可能已经发现利用面积是相等的，所以不难发现即csin∠B=bsin∠C.万一学生不能推导出以上公式，教师可作适当引导；如果学生能顺利推出上面公式，教师可以告诉学生在三角形中=2R（R为三角形外接圆半径），即为正弦定理.至于为何等于2R这个问题，可以继续引导学生在圆中给出正弦定理的完整证明.在正弦定理的运用阶段，如果条件允许，可以让学生外出通过测量，计算河两边两点间的距离（需要测量仪和尺，但人只能在河一边）.通过这样的自主学习、合作学习以及实践的活动，让学生真正成为课堂的主体，也许这样的教学比较耗时，但这样的学习经历肯定不是做几道题能形成的.

让学生动起来，实际上就是要让学生真正成为课堂主体，教师要有勇气“闭嘴”，尽量多做听众与协作者，少做权威和表演者.

二、生长：在问题解法、背景、拓展上生长，让“生”“长”得高

很多时候，我们发现学生题是做了很多，解题经验也积累了不少，但面对新问题还是缺少完全驾驭的能力，缺少核心技术.笔者以为关键原因是我们没有为学生的思维插上翅膀，就题论题得太多，没有深入问题内部，深入思维深处.“分析学生发生数学知识的心理环节，重在分析学生的数学认知结构，适应学生的心理需求，采用不断地提出问题，研究问题，解决问题的多轮循环的方式达到目的.”为此，我们要让学生在多样化的学习上“生长”，即在解法、背景、拓展上“生长”，促使其思维迈向深处，促进其综合能力的提高.

1.在问题解法上生长

正常情况下，绝大部分数学问题能从不同角度切入，殊途同归，这其实就是一题多解，一题多解不仅可以多角度巩固知识，更重要的是能拓展学生的思维.

以2011年浙江省高考数学理科第16题为例，已知x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为_________.这是一道看似常规的问题，其教学功能不容忽视，因为它的解法可以多达近20种.一般学生可能会用判别式法或基本不等式或三角代换解题，实际上它还可以运用简单不等式、柯西不等式、解析几何、向量、极坐标、合情推理等大部分高中数学知识解题.

“对于学生的学习和发展而言，并不是所有的知识都是有效的，即使是那些科学、正确的知识，如不能够使学生的身心素质有所增加，那也是无效的知识.”其实一题多解与通性通法并不相悖，通性通法，一般指多数人对一类问题采用了相同或类似的解决方法.换句话说，通法是对群体而言的，那么，对个体来说，通法是不是一定“通”是不得而知的.笔者以为，只有通过选择，在选择中找到更适合自己的，这才是真正的“通”法.一题多解不仅可以巩固旧知，厘清脉络，更能“生长”学生思维，提升能力.

2.在问题背景上生长

对于数学中的很多问题，学生之所以“一错再错”或“时对时错”，基本原因是学生没有用对方法或对方法的认识不够，深层次的原因则是教师没把问题讲清楚或没讲到“点”上.因此，对问题背景的生长不仅是学生的问题，更是教师必须具备的一种能力或是一种义务.

对大部分学生来说独立挖掘问题背景可能会存在一定困难，而且这项工作确实耗时又耗神.但对学有余力的学生来说，这一过程不仅可以锻炼他们的思维，更能培养他们的创新精神.因此，对于问题背景上的“生长”，可以因“材”施教，如果问题背景比较浅显，可以让学生独立作探索，教师只需适当引导；如果问题背景比较隐晦，那么可以提前把问题抛给学生，让学有余力的去先行研究，然后教师再设计一个流程，让学生自行逐步发现问题本质.相信这样的教学既能挖掘学优生的潜力，又能激发普通学生的学习动机，更能开阔学生的视野.

3.在问题拓展上生长

“学生数学学习的过程是一个持续的‘无疑-有疑-无疑’的动态循环和提高超越过程.”爱因斯坦曾说，发现（提出）一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.那么如何发现问题呢？笔者认为可以通过对原有问题进行拓展、类比发现新问题.

以过圆上一点切线问题为例，已知P（x0，y0）为圆O：x2+y2=r2上一点，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2，此结论通过简单计算就能获得.而椭圆与圆如此相似，过椭圆上一点能否类似地写出切线方程？在得到肯定后，一定会有学生提出，那么同为圆锥曲线的双曲线和抛物线中是否有类似性质？这样的类比、拓展是自然的、水到渠成的，学生也一定乐于接受.事实上，这些结论的推导一般都有一定难度，当然方法用得好是另外一回事（用点差法可以快速说明问题），重要的是这些小结论有时能派大用场.2014年浙江高考卷理21题：设椭圆动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.

（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1距离的最大值为a－b.

这就是一个较好的例子.如果知道过椭圆上一点切线方程，那么第一小问手到擒来，在成功的连锁反应下，第二问便不在话下.探索完过圆锥曲线上一点的切线问题后，可以继续从圆开始引导学生研究，假如点P（x0，y0）不在曲线上，直线x0x+y0y=r2还有没有意义？与切线是否有关系？当然也可以让学生自行类比、归纳、总结.总之，通过对问题不断地拓展、延伸，让学生思维真正“飞”起来.

套用一句网络流行语“主要看气质”，“生动”“生长”是数学课堂的两个气质要素.要使课堂变得更有气质，教师需要潜心钻研教材，留心积累与数学相关的案例，用心适时管住自己的“嘴”，引导学生多研究一些解法，多了解一些问题“源”，保持对问题的敏感性和对数学的“热情”，让“生”“动”起来，让“生”“长”得高！

1.章建跃.中学数学课改的十个论题（续完）［J］.中学数学教学参考（上），2010（5）．

2.蔡小雄.启迪思维是数学习题教学的首要［J］.中学数学（上），2013（8）．Y