紧扣对应的视角，理解函数的根本——以“一次函数的图像”的教学为例

☉江苏省张家港巿第二中学陈晓芳

紧扣对应的视角，理解函数的根本
——以“一次函数的图像”的教学为例

☉江苏省张家港巿第二中学陈晓芳

一、写在前面

最近在某微信群里，不少同行围绕函数的概念展开了激烈的教学研讨，其中大家对函数在初、高中阶段的定义有不同的认识，并给出各自不同的理解.其中，北京航空航天大学的李尚志博士有如下评论：“函数的根本点是对应，也就是自变量决定因变量.这算是公理.当你求函数值的时候，实际上是把自变量各自孤立地看成一个一个的值，一个求因变量，这就只剩下对应不考虑变化.好比把动画和视频截成一张张照片.如果你考虑定义域中各不同值的变化关系，因变量也被拖着有相应的变化关系，这是更高级的对应：变化的对应，包括变化速度的对应.我从来不赞成一个数学概念有不同版本，初中版本、高中版本、大学版本，以及福建版本、江苏版本等.初中与高中可能侧重点不同，不是函数概念的不同，函数概念只有一个：对应.而是对自变量的关注点不同.静止的自变量对应于静止的因变量，变化的自变量对应于变化的因变量，大学则关注自变量变化速度与因变量变化速度的关系，就是导数.”受到启发，笔者近期开设一次函数的图像研讨课，就基于“对应”的不同层次和视角，取得了较好的教学效果，本文梳理该课的教学流程，并跟进解读教学立意，提供分享与研讨.

二、“一次函数的图像”教学流程

1.开课阶段

一组练习：已知函数y1＝-6x，y2＝-6x+5.

（1）当x＝1时，分别求出对应的y1，y2的值；

（2）当y1＝6时，求相应的x的值；

（3）当y2＝11时，求相应的x的值；

（4）平面直角坐标系中，若直线y＝-6x经过点A（1，a），求a的值.

设计意图：通过一组运算求值，为后续研究函数图像做好必要的准备，同时也是函数概念中的对应的最低层次的形式：单一的自变量的值对应着一个函数值.

2.一次函数的图像

例1画出函数y1＝-6x，y2＝-6x+5的图像.

安排学生用“列表、描点、连线”法画出函数图像（在同一平面直角坐标系中）.学生画出图像后，引导比较上面两个函数图像的相同点与不同点，并预设如下问题：

问题1：这两个函数图像的形状都是什么？它们的倾斜程度如何？

问题2：函数y1＝-6x的图像经过原点，而函数y2＝-6x+ 5的图像与y轴交于哪个点？

问题3：函数y2＝-6x+5的图像可以看成是函数y1＝-6x的图像平移得到的吗？如何平移呢？

问题4：比较两个函数的解析式，你能说出两条直线具有上述关系的道理吗？

设计意图：通过画图和上述思考，引导学生归纳出形如y1＝-6x，y2＝-6x+5这样的函数图像都是直线，且互相平行，它们的图像可以通过平移得到.同时在点评阶段还要注意引导学生注意两种函数图像前后的对应关系，这也是本课基于“对应”的一个视角.

3.一次函数的图像与性质

例2画出函数y＝2x-1和y＝-0.5x+1的图像.

预设提醒：由于上面我们已总结出一次函数的图像是直线，因此根据“两点确定一条直线”，所以只需要确定两个点就能画出这两个函数的图像了.

在学生画出图像之后，预设追问如下问题：

问题1：有人是先画出直线y＝2x，然后再将其平移也能得出直线y＝2x-1，你知道他是怎么做的吗？

问题2：你能否先画出y＝-0.5x的图像，然后通过平移得出y＝-0.5x+1的图像？

问题3：有人在同一坐标系下画出函数y＝x+1和y＝-x+1的图像，发现这两条直线也有特殊的位置关系？你觉得他发现了什么？

问题4：你再快速画出函数y＝2x+1和y＝-2x+1的图像，看看它们是否还有上面发现的一些性质？哪些性质还成立？哪些不成立？

设计意图：通过上述追问让学生在练习快速画出一次函数图像的同时，学会观察不同的一次函数之间的关系，在此基础上强化数形结合分析函数问题的能力.

问题5：仍然从对应的角度来研究一次函数的图像和性质，比如，同学是否发现一次函数y＝kx+b中，当k为正数或负数时，对函数的图像有何影响呢？

问题6：在一次函数y＝kx+b中，当b为正数、0或负数时，对函数的图像有何影响呢？

问题7：从函数的增减性角度看，一次函数y＝kx+b中，y随x的增大一定会增大吗？如果不是，会受到哪个量的影响呢？

设计意图：通过一系列的问题，引导学生总结出一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.

评讲时注意提醒学生的方法：我们先通过观察发现图像的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在今后函数学习中是十分重要的.

巩固练习：在同一直角坐标系下画出下列函数的图像，并解答相关问题：

y＝-2x-1，y＝-2x，y＝-2x+1.

（1）写出直线y＝-2x-1与两个坐标轴的交点坐标；

（2）对于函数y＝-2x+1，y随x的增大而_____；（填“增大”或“减小”）

（3）指出上述三条直线的共同之处与不同之处；

（4）将直线y＝-2x+1向下移3个单位得到的直线解析式是什么？

4.小结与运用

我们就以函数y＝-2x+1为例，从“对应”的不同层次小结一次函数图像的学习：

第一层次，赋值求值，即当x取一个值时，求出相应的y的值；这时每组数对都是“孤立”的；

第二层次，从数到形，把第一层次中得出的有序数对对应到坐标平面内的点的坐标，描出这些点；

第三层次，把第二层次中描出的点用平滑的线连接起来，得到函数完整的图像，从函数关系式出发，对应着一个连接的图像；

第四层次，研究并分析函数随着自变量的变化（增大或减小），函数相应是如何变化的，即函数增减性如何变化.

听课检测：（1）已知函数y＝（k-3）x+1.

①当其图像是过第一、二、三象限的直线时，求k的取值范围；

②若函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围.

三、教学立意的进一步阐释

1.预设追问，在追问中渗透“对应思想”

根据章建跃博士提出的“三个理解”，从“理解数学”的层面来看，本课的教学立意主要是基于“对应”的不同层次；从“理解学生”的层面来看，我们选择了贴近学生“最近发展区”的问题情境引入新课；从“理解教学”的层面来看，我们通过对教学流程中主要活动（如画图像）之后，注重预设了系列追问，通过这些追问不仅巩固新知，而且重在渗透“对应思想”，一直到课堂小结阶段，又从不同层次跟学生明确和梳理本课中的多种“对应”层次.

2.重视练习，在练习中传递“练习精神”

近读钟启泉教授著作，钟教授关于练习的“系统开发”有如下论述：洞察“练习”的本质，学会领悟自身的自然本性，发现自我、修炼自我、完善自我，从而有助于使“练习”真正拥有人性的高度，使“练习精神”在学校教育中熠熠生辉——这就是“练习”的系统开发的终极目标.所以，在数学教学中，我们需要精心设计练习环节，而不是随手摘录、简单复制，需要根据所训练的例题、数学活动，编拟、改编成适合各个教学活动之后的跟进练习，既让学生得到必要训练，又通过这些不同形式的练习向学生传递一种“练习精神”：从系列练习中发现关联（与新知的关系，不同小题之间的关系），理解对应（函数的对应思想）.

四、结束语

函数是初中数学中的核心概念，既是数式、方程、不等式的“升级版”，又引导着后续数学（如微积分）的发展，教师备课、教学时需要有大局观，才能在教学细节处体现出取舍的智慧.想来，“思考大问题，设计小细节”也许应该成为我们教学设计的一个追求吧.

1.章建跃.全面深化数学课改的几个关键［J］.课程·教材·教法，2015（5）.

2.钟启泉.读懂课堂［M］.上海：华东师范大学出版社，2015.

3.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

4.陈乘风.依靠基本套路，践行单元教学——以“矩形、菱形”第1课时教学为例［J］.中学数学（下），2016（2）.H