单位移动力偶作用下静定结构的影响线

赵恒博，吴净洁

(1.青岛理工大学琴岛学院，山东 青岛 266106；2.青岛市公路管理局，山东 青岛 266114)

单位移动力偶作用下静定结构的影响线

赵恒博1，吴净洁2

(1.青岛理工大学琴岛学院，山东 青岛 266106；2.青岛市公路管理局，山东 青岛 266114)

影响线的绘制及应用是结构力学中的一个重要内容，它与结构设计密切相关.目前各教材中只讲解了单位力移动时影响线的绘制及应用.当利用影响线求解的结构中，出现力偶作用时，计算就出现困难。为解决此问题，以虚功原理为基础，以机动法为辅助，推导出单位移动力偶作用下静定结构的影响线函数一般式，并给出绘制影响线的步骤.此方法扩大了影响线的应用范围，可作为教材的补充，也给结构设计带来方便.

影响线；单位移动力偶；虚功原理；静定结构

影响线是研究移动荷载作用的基本方法，是结构力学课程的一个重要组成部分.利用影响线可以得到内力包络图，这一内容是土木结构设计中的重要工具，在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中应用广泛[1-3].一般意义上的影响线表示当单位集中荷载沿结构移动时，某一指定截面处的某一量值变化规律的图形[4-5].作影响线的方法主要有静力法和机动法，机动法相对简单，应用也比较广泛.关于影响线的应用，各教材中均有讲解利用影响线求解集中荷载及均布荷载作用下的结构.而关于集中力偶作用下，结构中各量值的求解并未提及，所以给初学者的学习带来困难.

现有的解决方法主要是把力偶看作一对集中荷载，具体按照集中荷载作用时的方法计算[6-8].这个方法可行，但是比较麻烦不够直观，而且一对集中荷载的作用位置如果安排不恰当容易出现错误.为解决此问题以虚功原理为基础，研究单位移动力偶作用下的影响线，推导单位移动力偶作用时的影响线函数一般式，并总结求解步骤.此计算方法可作为教学的补充，也可为结构设计人员提供方便[9-10].

1 基本原理

作静定结构的内力或支反力影响线有两种基本方法，静力法和机动法.静力法以荷载的作用位置x为变量，通过静力平衡方程，确定所求支反力或内力的影响函数，并作出影响线[11-12].该方法适用范围广，但是对于比较复杂的结构来说计算相当繁琐.机动法以虚功原理为依据，通过撤除约束、虚设单位位移的方法，得出位移图，即影响线的形状[4-5].也就是说，把作支反力或内力影响线的静力学问题，转化为作位移图形的几何问题.这种方法较方便，故采用此方法作单位移动力偶作用下的影响线.

机动法求单位移动集中荷载作用下静定结构的影响线的基本步骤:

(1)撤去与Z相应的约束，代以约束力Z，并设为正方向，结构成为一个自由度的几何可变体；

(2)给体系以刚体运动的虚位移，使沿Z的正方向产生单位位移δZ＝1，形成虚位移图即δP图；

(3)通过几何关系求出δP图中各竖距的数值，即Z的影响线；

(4)横坐标以上图形，影响系数取为正，反之为负.[11-13]

2 单位移动力偶作用下简支梁的影响线

以虚功原理为依据，根据机动法的基本思路，从求支反力、剪力及弯矩影响线三个方面，对单位移动力偶作用下简支梁的影响线进行研究[14].并推导单位移动力偶作用时影响线函数一般式.

2.1 求支反力FB的影响线

图1 单位移动力偶作用下的简支梁Fig.1 Simply supported beam under the action of the mobile unit couple

如图1所示单位力偶M＝1在简支梁AB上移动，尺寸如图所示.求支反力FB的影响线.按照机动法的步骤，先撤去与FB对应的约束支杆B，用正方向的FB来代替；接下来给体系以虚位移，令沿FB正方向的位移为单位位移，即δB＝1，形成虚位移如图2所示.

由刚体系的虚功原理，列虚功方程:FBδB－M·α

α即虚位移图的转角，也就是与单位力偶相应的广义虚位移，称作力偶行走线的角位移.

FB＝α＝表示FB的影响线函数为α，由此可得FB的影响线如图3所示.

2.2 求剪力FQC的影响线

图1所示求单位力偶M＝1在简支梁AB上移动时，C点剪力FQC的影响线.同样先撤去与FQC相应的约束，即将C截面变为定向支座，再用一对力FQC来代替此约束；并沿FQC的正方向给体系以虚位移，令与FQC对应的位移δC＝1；根据定向支座的性质，知发生位移后C截面左右两侧的位移图线平行，从而形成虚位移如图4所示.

可见FQC的影响线函数为-β，同样为虚位移图的转角，即力偶行走线的角位移.得FQC的影响线如图5所示.

图2 求FB时的虚位移图Fig.2 Virtual displacement diagram of FB

图3 FB的影响线Fig.3 Influential line of FB

图4 求FQC的虚位移图Fig.4 Virtual displacement diagram of FQC

图5 FQC的影响线Fig.5 Influential line of FQC

2.3 求弯矩MC的影响线

求图1所示单位力偶M＝1在简支梁AB上移动时，C点弯矩MC的影响线.先撤去与MC对应的约束，即将C截面变为铰约束，再用一对力偶MC来代替；并沿MC的正方向使体系产生虚位移，令与MC对应的位移＝γ＋θ＝1；根据几何关系得虚位移如图6所示.

图6 求MC的虚位移图Fig.6 Virtual displacement diagram of MC

图7 MC的影响线Fig.7 Influential line of MC

可见当M＝1在C截面的左右移动时，MC的影响线函数分别为γ、-θ，同样为虚位移图的转角，也就是力偶行走线的角位移.图7即为MC的影响线.

2.4 形成一般式

设所求影响线量值为Z，δZ为沿Z正方向的单位位移，α即虚位移图的转角，也是与单位力偶M＝ 1相应的角位移.假设M＝1以顺时针转为正，转角α以逆时针转为正，列虚功方程:

可见单位移动力偶作用下某量值的影响线函数为虚位移图的转角，即单位移动集荷载作用时该量值影响线的斜率.

3 单位移动力偶作用下静定多跨梁的影响线

以上结论对于静定多跨梁同样适用，撤去一个约束后，各杆段在虚位移图中的转角(以逆时针转为正)，即该杆段的影响线函数[15].接下来以一个静载力偶作用下的静定多跨梁为例，利用影响线求量值MK.如图8所示.

图8 静定多跨梁Fig.8 Statically determinate multi span beam

依照机动法将K截面换为铰，用一对MK来代替，沿MK正方向给出单位虚位移，形成虚位移图如图9所示.

图9 求MK的虚位移图Fig.9 Virtual displacement diagram of MK

图10 MK的影响线Fig.10 Influential line of MK

虚位移图中各段的转角(以逆时针转为正)即各杆段MK的影响线函数，图10为单位移动力偶作用下MK的影响线.且图8所示力偶作用下MK的值为:

可见通过画单位移动力偶作用下的影响线，来求静载力偶作用下的量值，非常方便，该方法值得推广.

4 结论

利用机动法求单位移动力偶作用下静定结构Z量值影响线的步骤为:

1)撤去与Z相应的约束，用约束力Z来代替.

2)使体系沿Z的正方向产生单位位移，并画虚位移图.

3)虚位移图中各杆段转角(以逆时针转为正)，即单位移动力偶作用下的影响线函数.由此可画出单位移动力偶作用下的影响线.

一般式为Z(x)＝α(x)，单位移动力偶M＝1以顺时针转为正，α以逆时针转为正.由于静定结构的虚位移图为直线，可见单位移动力偶作用下的影响线在各段内影响线函数为常数.这与力偶在一个几何不变体系(刚片)内可任意移动，而不改变该体系静定的外部约束力相吻合.

以上作单位移动力偶作用下静定结构影响线的方法，可作为结构力学教学影响线部分内容的补充.并且扩大了影响线的应用范围，使利用影响线进行静载力偶作用下静定结构的计算变得简单，为结构的设计计算带来方便.

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(责任编辑:付强，张阳，李建忠，罗敏；英文编辑:周序林)

Influence Lines of statically determinate structures under the action of the mobile unit couple

ZHAO Heng-bo1，WU Jing-jie2
(1.Qindao College，Qingdao Technology University，Qingdao 266106，P.R.C.；2.Qingdao Highway Administration，Qingdao 266114，P.R.C.)

The drawing and application of the Influence Line is an important part in structural mechanics，which is closely related to the structural design.At present，this part is only explained under the condition of unit moving load in current teaching materials.It is difficult to get the solution in the structure using the Influence Line when the couple appears.In order to solve this problem，based on the principle of virtual work，coupled with Kinematics Method，this paper deduces the general formula of the Influence Line in the statically determinate structure under the action of the mobile unit couple，and the drawing processes of the Influence Line is given.This method expands the application range of the Influence Line，and can be used as a supplement to the teaching materials，and it also brings convenience to the structural design.

Influence Line；mobile unit couple；principle of virtual work；statically determinate structure

O342

A

2095-4271(2016)06-0696-06

10.11920/xnmdzk.2016.06.018

2016-08-08

赵恒博(1982-)，女，汉族，山东省临清人，讲师.研究方向:从事工程力学方向的研究.E-mail:17825538＠qq.com.

青岛市公路管理局课题研究采购项目(T-20141114-095)