三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组解的全局存在性

李卫文，赵文波，孙小科（.浙江师范大学 数理与工程信息学院，浙江 金华 3004；.天水师范学院 电子信息与电气工程学院，数学与统计学院，甘肃 天水 7400）

自然科学研究

三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组解的全局存在性

李卫文1，赵文波2，孙小科2
（1.浙江师范大学 数理与工程信息学院，浙江 金华 321004；2.天水师范学院 电子信息与电气工程学院，数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

研究三维带分数阶耗散不可压Maxwell-Naiver-Stokes方程组，当α＞3时，利用能量方法得到2了该方程组解的全局存在性结果.

Maxwell-Naiver-Stokes方程组；全局存在性

引言

考虑如下三维不可压Maxwell-Navier-Stokes方程组：

Naiver-Stokes方程刻画了粘性流体运动的基本力学规律，在流体力学中有着十分重要的意义.而Maxwell方程和Lorentz方程是经典电磁学基础方程，从这些方程的相关理论中发展出了现代电子、电力科技，因此研究这些方程具有重要的理论意义和应用前景.

目前，经典的Maxwell-Navier-Stokes（α=1）方程组已经得到了广泛的研究.在二维的情形下，Mas⁃moudi等人在文献［2］，［3］中分别证明了当初值

以及

当忽略位移电流Et的影响时，Maxwell-Navier-Stokes方程组可化MHD［6］方程组，而对于MHD方程组已经有了大量的研究成果，例如解的唯一性、［7］爆破性准则、［8］大时间行为以及粘性消失极限［9］等.但是对于Maxwell-Navier-Stokes方程组与MHD方程组的结构而言，两者之间有着很大的不同，因此研究这些问题需要更多的技巧与方法.

1　基本引理

为了证明定理1，通过Picard定理及先验估计可以得到如下引理：

引理 3［10］（Moser型不等式）f∈Ws，q2，Λf∈Lp1，，则有其中1＜p＜∞，p1，p2∈（1，∞］，s＞0且

2　定理1证明

首先，在（1）-（3）分别乘以u，B，E，并关于x积分然后将结果相加，得到基本能量估计

这表明 u∈L∞（0，T；L2）⋂L2（0，T；Hα），（B，E）∈L∞（0，T；L2）和 j∈L2（0，T；L2）.

在（1）～（3）两边作用算子Λ，对其分别乘以Λu，ΛB，ΛE，并关于x积分然后将其相加，得到

现在给出 Ii，i=1，2，3的估计.对于 I1利用Hölder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，有

对于I2，运用Moser型不等式、Hölder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，得到

同样，对于I3

将（13）～（15）代入（12）并与（11）相加，然后应用Gron⁃wall不等式，得到

接下来进行二阶估计，先在（1）～（3）式两边作用算子Λ2，然后对其分别乘以Λ2u，Λ2B，Λ2E，并关于x积分然后相加，得到

将（18）～（20）代入（17）并结合（11），应用Gronwall不等式，得到

至此，结合引理2我们完成了定理1的证明.

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〔责任编辑 高忠社〕

Global Existence of the Solution to the Three Dimensional Incompressible Maxwell-Navier-StokesEquations with Fractional Dissipation

Li Weiwen1，Zhao Wenbo2，Sun Xiaoke2
（1.College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang321004，China；2.School of Electronic Information and Electrical Engineering，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu741001，China）

Maxwell-Navier-Stokes equations；global existenc

O175.27

A

1671-1351（2016）02-0001-03

2016-01-21

李卫文（1992-），女，浙江嘉兴人，浙江师范大学数理与工程信息学院在读硕士研究生。

甘肃省高等学校科研项目（2015A-131）及天水师范学院校列项目（TSA1406）阶段性成果