幂函数图象性质研究两步曲

郭家维

贵州省兴义市第八中学

幂函数图象性质研究两步曲

郭家维

贵州省兴义市第八中学

研究幂函数，由定义域可知，所有幂函数在(0,+∞)上都有意义，所以研究幂函数的第一个关键问题是研究幂函数第一象限的图象及其性质。部分幂函数在(-∞，0)上无意义，研究它在第一象限的图像及性质及可了解此类幂函数，部分幂函数在(-∞，0)有意义且此类幂函数具有较强的对称性，结合第一象限的图象及性质和奇偶性即可知此类幂函数在(-∞，0)上的函数图象及性质，所以幂函数研究的第二关键为通过对幂函数的奇偶性的探究。本文通过对幂函数在第一象限的图象及其性质和幂函数的奇偶性的分析从而了解幂函数，在教学中有助于学生理解幂函数。

幂函数；奇偶性；第一象限；图象

幂函数，即是形如y=x∂的函数，其中x为自变量，∂为常数。研究函数首先考虑定义域优先，下面就对幂函数的定义域进行分类，令（p，q互质）。

一、第一曲——幂函数的第一象限的图像及性质

由上面的分析可以看出，所有幂函数在x∈(0,+∞)上都是有意义的。要研究所有幂函数的性质，就先选取x∈(0,+∞)进行讨论。

在对指数函数，对数函数的性质的研究当中，都是通过图象来对性质进行总结，在幂函数的学习中，也通过观察图象来对性质进行总结。当所有幂函数的定义域为(0，+∞)时，值域也为(0，+∞)，可以看出，当x＞0时，幂函数的图象均在第一象限，那就先讨论幂函数在第一象限的性质。

第一，幂函数过定点（1,1），即是当x=1时，函数值y=1，与∂的取值无关。

第二，当∂＞0，幂函数在(0，+∞)上为增函数，当∂＜0时，幂函数在上为减函数。证明如下：令那么由于x2＞x1，即是，又因为∂＞0，则即f(x2)＞f（x1），所以当∂＞0时，幂函数在(0，+∞)上为增函数，同理可以证明当∂＜0时，幂函数在(0，+∞)上位减函数。

第三，当∂＞1时，函数的图象是类似于向上抛物线的右半支，即是图象上凹，当0＜∂＜1时，函数的图象类似于向右抛物线的上半支，即是图象上凸。可以用二阶导数来对其进行证明。

第四，当∂＜0时，有当x→+∞时，y→0，即是幂函数图象向右趋近于x轴，当y→+∞时，x→0,即是幂函数的图象向上趋近于y轴。

第五，当x∈(0,1)时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越小，当x＞1时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越大。

第六，f(x)在x∈(0,+∞)无最值，即无最大值，也无最小值。

二、第二曲——幂函数奇偶性探究

有了函数的奇偶性，再结合幂函数第一象限的图象及其性质，我们可以得到x∈()-∞,0幂函数的图象及其性质。

①幂函数还过一个定点（-1,1），幂函数的象限分布为第一、第二象限；

②当∂＞0，幂函数在(-∞，0)上为减函数，当∂＜0时，幂函数在(-∞，0)上为增函数；

③当∂＞1时，函数的图象在()-∞，0类似于向上抛物线的左半支，即是图象下凹，当0＜∂＜1时，函数的图象类似于向左抛物线的上半支，即是图象下凸。证明可以根据二次导数证明；

④当∂＜0时，有当x→-∞时，y→0，即是幂函数图象向左趋近于x轴，当y→+∞时，x→0,即是幂函数的图象向上趋近于y轴；

⑤当x∈(-1,0)时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越小，当x＜-1时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越大；

⑥f(x)在x∈(-∞,0)无最值。

①幂函数还过一个定点（-1,-1），幂函数的象限分布为第一、第三象限；

②当∂＞0，幂函数在(-∞，0)上为增函数，当∂＜0时，幂函数在(-∞，0)上为减函数；

③当∂＞1时，函数的图象在(-∞，0)类似于向下抛物线的左半支，即是图象上凸，当0＜∂＜1时，函数的图象类似于向左抛物线的下半支，即是图象上凹；

④当∂＜0时，有当x→-∞时，y→0，即是幂函数图象向左趋近于x轴，当y→+∞时，x→0,即是幂函数的图象向下趋近于y轴；

⑤当x∈(-1,0)时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越大，当x＜-1时，随着∂的值增大，幂函数f(x)的值越小；

⑥f(x)在x∈(-∞,0)无最值。

结语

综上，可以看出，只要有了幂函数在第一象限的图象及性质，、就可以同过函数的奇偶性来研究幂函数在其他象限的图象及其性质。所以这两点是研究幂函数的关键。

[1]普通高中课程标准实验教科书A版数学一（必修）p27-p79

[2]普通高中课程标准实验教科书A版数学一（选修）p97-p107