如何学好“二次函数”

徐文鸿

【关键词】 数学教学;二次函数;观察;掌握;规律;总结

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004—0463（2015）23—0119—01

北师大版九年级数学下册的第三章“二次函数”，它不但是初中教学的重点内容，而且也是高中函数学习的一个重要知识点，它起着承上启下的作用.二次函数这一章体现了数形结合的重要思想，也为高中进一步学习“一元二次不等式”打下了基础.它是三个“二次”（二次方程、二次函数、二次不等式）中的重要一环，因此学好“二次函数”非常重要.那么如何学好二次函数呢？

一、学会观察与思考

二次函数的学习离不开二次函数的图象和性质，可以利用作图方法与作图过程，从“特殊”→“一般”规律来认识二次函数，以提高对二次函数的理解与掌握.

例1 在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象，并观察其有何变化规律？

①y=x2    ②y=x2+1    ③y=（x-2）2     ④y=（x-2）2+1

从抛物线的图象上，它们的形状大小一致，只是位置不一样，其变化规律为：

二、掌握基本规律与方法

求抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴与顶点有两种方法：

第一种 配方法y=ax2+bx+cy=a（x-h）2+k 对称轴为直线 x=h，顶点为（h，k）.

第二种 公式法y=ax2+bx+c=a（x+）2+，对称轴为直线 x=-，顶点为（，）.

例2  求二次函数y=-2（x+3）2+5的对称轴及顶点.

解：直接利用公式法可得函数的对称轴为直线 x=-3

当x=-3时， y=5，即顶点为（-3，5）.

三、善于总结与推广

学好数学，重点在练习.通过不断练习，才能巩固所学知识.但又不能搞题海战术，要通过精练，不断地总结解题方法和技巧，才能真正提高解题能力.

例3  已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.

分析：利用数形结合的思想来总结，即利用抛物线的对称性，抛物线上到对称轴等距离的两点的纵坐标相等.

解法一： 设a>0，利用图象可知 A、B两点的中点是（1，0），即所求抛物线的对称轴是直线x=1.

分析：由公式法可知对称轴为：x=-，求出a、b的值或a 、b关系即可.

解法二： ∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0） ，（3，0）

∴a-b+c=0         ①

9a+3b+c=0      ②

②-① 得：b=-2a.

∴所求抛物线的对称轴是：x=-=-=1.

由上述解题方法可总结出结论：若y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则所求抛物线的对称轴是： x=.

四、加强应用

数学知识来源于实践，最后回归到解决实际问题.利用二次函数解决实际问题难点在于函数关系的确定，对于一些较复杂的问题，可以采用表格分析来帮助理解.

例4  某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

解：（1）设每件降价x元，根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200.

整理得 x2-30x+200=0，

解方程得x1=10，x2=20.即当降价10元或20元时，由于销售量不同，都可获利1200元.但“为了扩大销售”，“尽快减少库存”可降价20元，每天销售量将增加，符合题中要求.

（2）设每件降价x元，其数量变化关系式为：

则函数关系式为： y=（40-x）（20+2x）

=-2x2+60x+800

=-2（x-15）2+1250，

即每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元.

这种列表分析，已知与未知关系一目了然，有利于提高学生的分析能力，培养学生的思维，快速提高学生的解题能力.编辑：谢颖丽