质量－弹簧－带摩擦自激振动系统的分岔特性及其控制研究

质量-弹簧-带摩擦自激振动系统的分岔特性及其控制研究

李小彭，孙德华，岳冰，王丹，闻邦椿

(东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819)

摘要：为了深入研究摩擦自激振动系统的非光滑动力学机理，建立了含有Stribeck摩擦模型的具有代表性的质量-弹簧-带摩擦自激振动系统非线性动力学模型。利用数值仿真方法分析了自激振动系统在不同参数下的分岔特性，仿真结果表明：进给速度、阻尼系数和动静摩擦系数比均是影响系统运动状态的主要因素；进给速度较低时系统进行准周期振动，当进给速度达到0.4944时，系统开始出现超临界Hopf分岔现象；阻尼系数和动静摩擦系数比变化时系统有与进给速度变化时类似的特性。针对系统中存在的分岔现象，提出了Washout滤波器方法对其进行分岔控制。对比引入Washout滤波器前后系统的相图，得到Washout滤波器能使受控系统的自激振动振幅明显减小，拓扑结构得到明显改善，这间接的表明了在原系统中加入Washout滤波器设计的非线性控制器对摩擦系统进行分岔控制是一种比较有效的方法。

关键词：自激振动；摩擦模型；Washout滤波器；分岔控制

中图分类号:TH113.1文献标志码：A

收稿日期：2014-10-31修改稿收到日期：2015-12-26

基金项目：国家科技重大专项子课题(2011ZX05056)资助项目

收稿日期：2014-02-26修改稿收到日期：2014-06-19

Bifurcation characteristics and control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system

LIXiao-peng,SUNDe-hua,YUEBing,WANGDan,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:In order to deeply study the non-smooth dynamic mechanism of a friction self-excited vibration system, a nonlinear dynamic model for a typical mass-spring-belt friction self-excited vibration system containing a Stribeck friction model was established. Secondly, the bifurcation characteristics of the system under different parameters were analyzed by using the numerical simulation method. The results showed that feed speed, damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are the main factors affecting the system motion state; quasi-period vibration happens when the feed speed is lower and the supercritical Hopf bifurcation appears when the feed speed is 0.4944; the system’s characteristics with variation of damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are similar to those with variation of feed speed. Thirdly, Washout filter method was used to control bifurcation phenomena existing in the system. By comparing the phase diagrams of the system behore and after introducing Washout filter, the results showed that the amplitude of the controlled system is reduced and its topologic structure is improved obviously after introducing Washout filter, so adding Washout filter into the system is a more effective method for bifurcation control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system with nonlinear controllers.

Key words:self-excited vibration; friction model; Washout filter; bifurcation control

摩擦引起的振动问题广泛存在于工程领域和日常生活中，并且以多种方式影响着机械系统的性能。这些问题通常会引起机械零部件的磨损，从而降低被加工件的精度和质量，还会降低控制系统的精度[1]。为此，越来越多的学者开始摩擦系统的建模和系统动力学方面的研究。在建模方面，人们建立了一系列的摩擦模型，如库仑摩擦模型[2]、Stribeck摩擦模型[3]、Karnopp摩擦模型[4]、Dahl摩擦模型[5]以及LuGre摩擦模型[6]。在系统动力学方面，Feeny[7]用实验和仿真相对比的方法研究了含有干摩擦的振子的混沌行为。Gdaniec[8]等通过采用LuGre摩擦模型进行单自由度的摩擦振子的研究，发现对于不同的进给速度和摩擦系数会有产生摩擦诱发振动的分岔和混沌现象，而且大部分的运动都为混沌运动。Madeleine[9]研究了一个两自由度的质量-阻尼-弹簧系统在受到间歇加载时的摩擦激振现象。

虽然考虑摩擦的机械系统的动力学研究已经有很长的历史，但是摩擦自激振动等非光滑动力学机理还未被深入研究，关于自激振动的理论研究缺乏系统性，没有得出一定的具有系统性的规律。而高速列车的减振[10]、飞机机翼的颤振[11]、高速切削的振动问题[12]以及汽轮发电机组的油膜振动[13]都与自激振动有关。自激振动往往带来危害，人们在其抑制和控制方面也在一直探索[14]。文献[15]中表明，对非自治自激振动系统，可从约束分岔理论的角度得出其稳态解分岔图谱，这些结果对此类系统的设计具有指导意义。正因为自激振动在工程中广泛存在，低能耗、高效的自激振动控制器将有极大的工程应用价值[16]。左曙光[17]研究了轮胎胎面的自激振动现象，得出在一定参数条件下，只有当车速在一定范围内时，轮胎胎面才能产生自激振动，前束角对自激振动的影响与车速类似，两者都有一个对应于自激振动的取值范围。另外自激振动的产生往往与系统中的Hopf分岔有关，因而自激振动控制，还与非线性动力学研究热点问题之一分岔的控制密切相关。因此，对摩擦自激振动系统进行研究具有重要的理论和实际意义。

本文以典型的机床切削系统和进给系统为研究对象，对机械系统中存在的摩擦引起的自激振动现象的分岔特性进行了深入的研究，并提出了可行的Washout滤波器控制方法，对于促进摩擦动力学的发展、研究和解决由于摩擦而产生的动力学问题具有重要的价值。

1摩擦自激振动系统模型建立

对重要的摩擦现象进行准确的数学建模，一直是惯有的一种研究方法。对于自激振动机理，国内外学者建立了一些典型的模型。但是这些模型所应用的场合各不相同，虽然这些物理模型能够解释一些现象，但是它们还存在着缺点：

(1)不易构建数学模型，给爬行的数学分析带来了困难；

(2)较难进行数值仿真分析，动态仿真较难实现；

(3)以往的研究仅仅集中在实验方面，对进给速度变化引起的研究比较多，而对其他参数的变化对动力学系统的影响研究较少；

(4)已经完成的研究均假设系统法向载荷是不变的，而实际上摩擦副的表面粗糙度、表面波纹度等因素会导致运动件在垂直方向上下起伏，所以在坐标系中的垂直方向上运动件是存在振动的。

图1　质量-弹簧-带自激振动系统模型 Fig.1 Model of the friction self-excited vibration system of mass-spring-belt

因此，需要基于一个模型来深入研究。由于状态参数的变化与系统的质量、刚度、阻尼、摩擦因素和法向振动有直接的关系，根据机床切削系统和进给系统运行的实际情况，电机经联轴器、丝杠螺母驱动滑动块运动，可将联轴器、丝杠螺母简化为刚度为k的弹簧和一个阻尼为c的等效阻尼，工作台与导轨之间的的摩擦力为F。因此建立了如图1所示的质量-弹簧-带自激振动系统模型。此模型常用于分析机械进给系统的粘滑运动。质量块m位于以常速v0运行的传动带上，进给系统固定端刚度为k的弹簧和阻尼系数为c的阻尼器连接，质量块和带间的摩擦力F为质量块提供驱动力。

系统的动力学方程为：

(1)

将式(1)无量纲化，得到：

(2)

本文摩擦模型采用Stribeck摩擦模型，这个模型非常经典，可以用来描述一般机械部件运动结合面之间的摩擦行为。该模型的表达式为：

(3)

式中，vm为对应于最小动摩擦的速度，μs，μm分别为静动摩擦系数，且μs≥μm。

由常微分方程理论可知，正规型高阶微分方程可以化为等价的一阶微分方程组。在此对微分方程进行等价变换，令

(4)

则方程(3)代入方程(2)后，将所得到方程化为一阶微分方程组：

(5)

2不同参数下摩擦自激振动系统的分岔数值仿真

Hopf分岔是指系统参数变化经过临界点时，平衡点由稳定变为不稳定并从中生长出极限环。它是一种比较重要的动态分岔问题，与工程中自激振动的产生有着密切联系。

系统参数设定为：μs=0.4，μm=0.25，vm=0.5，分别以进给速度、阻尼系数、传动刚度和静动摩擦系数比为分岔参数，得到如图2～图5的分岔图。

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X图2 以进给速度为分岔参数的系统分岔图Fig.2Thesystembifurcationdiagramwithfeedspeedasthebifurcationparameter图3 以阻尼系数为分岔参数的系统分岔图Fig.3Thesystembifurcationdiagramwithdampingcoefficientasthebifurcationparameter

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X图4 以传动刚度为分岔参数的系统分岔图Fig.4Thesystembifurcationdiagramwithtransmissionstiffnessasthebifurcationparameter图5 以静动摩擦系数比为分岔参数的系统分岔图Fig.5Thesystembifurcationdiagramwiththeratioofdynamic-staticfrictioncoefficientasthebifurcationparameter

由图2可以看出，当进给速度达到0.494 4时，系统开始出现超临界Hopf分岔现象，平衡点由不稳定焦点变成了稳定焦点，极限环消失，系统趋于稳定。分岔图可以分为准周期运动区、单值曲线区两部分，准周期运动区在进给速度v0等于0～0.494 4之间，单值曲线区则在v0等于0.494 4～1之间。这表明当v0达到临界速度vb1时，由初始的自激振动产生的稳定极限环变为稳定状态；进给速度较低时系统进行准周期振动，当大到一定程度时系统开始趋向于稳定。

同样地，由图3可以看出，准周期运动区在β等于0～0.2之间，单值曲线区则在β等于0.2～1之间，说明准周期运动主要发生在小阻尼系数区域，当阻尼系数大到一定程度时不稳定状态就会消除，系统处于稳定状态。由图4得，刚度对系统的动力学影响并不是很大，仅仅会减小粘滞阶段的比例，至于会不会消除和抑制自激振动并没有体现出来。由图5得，准周期运动区在μm/μs等于0～0.9之间，单值曲线区则在μm/μs等于0.9～1之间，说明当动静摩擦系数差别较大时，系统会发生自激振动现象，而当差别小到一定程度时，系统处于稳定状态。

3摩擦自激振动的分岔控制

3.1Washout滤波器设计及稳定性分析

由图6可以看出，当速度大于等于0.49时，系统极限环的幅值突然减小，系统的平衡点处于不稳定状态；而小于0.49时，系统极限环幅值相对很大，系统的平衡点处于稳定状态。因此系统在速度减小的过程中，极限环由稳定变为不稳定状态，而平衡点则由不稳定变成了稳定状态。由系统稳定性分析得[18]，速度经过0.49时发生了亚临界Hopf分岔。因此，要想减小系统极限环的幅值，可在此处引入Washout滤波器进行控制[19]。

图6　不同进给速度下的相图 Fig.6 The phase diagram with different feed speed

当摩擦力仅仅采用线性部分时，原摩擦自激振动系统可以写成如下形式：

(6)

这里只对y实施Washout filter控制，控制系统可以写为：

(7)

将控制器设计为如下的形式：

u=g(v;K)=k1v+k2v3

(8)

式中，K=(k1,k2)为控制向量，k1为线性增益，k2为非线性增益。线性部分可以控制Hopf分岔的产生，立方项可以控制极限环的幅值，将方程(7)代入方程(6)得到：

系统的线性部分Jacobian矩阵为：

(10)

Jacobian矩阵的特征方程为：

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(11)

-3.6×0.49=-1.764<0

(12)

当v0=0.49时，求解如下特征量：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(13)～式(19)得极限环的曲率系数[18]为：

(20)

当k3<0.6时，σ1<0。由σ1<0和α′(0)<0可知，系统会在v=0.49处发生超临界Hopf分岔，分岔方向为v<0.49的方向。

因此，在0.49处引入Washout滤波器之后，系统在0.49处系统性质发生了变化，由亚临界Hopf分岔控制为了超临界Hopf分岔。

3.2分岔控制的数值仿真验证

引入Washout滤波器前，在失稳临界速度v0=0.49处，平衡点发生了超临界Hopf分岔，而由第2节进给速度的分岔图可以看出，在进给速度减小到大约等于v0=0.49处，质量块位移幅值发生了显著的变化，其值突然增大，这时候发生了亚临界分岔。

而引入Washout滤波器后，在带速度为0.49处系统的平衡点仍然发生超临界Hopf分岔，因在速度超过0.49时系统平衡点开始稳定，反之则不稳定；而在v0=0.49时，系统位移幅值减小了，说明此时系统亚临界分岔现象已得到控制。

取分岔前的带速度v0=0.4，得到在不同的k1和k2时，引入Washout滤波器后系统的相图，如图7所示。

图7　不同参数下受控系统的相图 Fig.7 The phase diagram with different parameters

由图7可以看出，调整控制器的参数，能够达到改变极限环的幅值的目的，也可以使得系统的极限环消失，并且在原有的Hopf分岔处不再存在Hopf分岔，因此通过调整参数能够控制这一类的自治系统的Hopf分岔。这也说明了本文在原系统中加入Washout滤波器设计的非线性控制器对摩擦系统进行分岔控制是可行的。

4结论

本文通过对机床切削系统和进给系统等摩擦振动结构的动力学现象进行分析，建立了含有Stribeck摩擦模型的质量-弹簧-带自激振动系统模型。并且分别以进给速度、阻尼系数、传动刚度和动静摩擦系数比为分岔参数，对系统进行了分岔与混沌分析。仿真结果表明，进给速度、阻尼系数和动静摩擦系数比均是影响系统运动状态的主要因素；进给速度较低时系统进行准周期振动，当进给速度达到0.494 4时，系统开始出现超临界Hopf分岔现象；阻尼系数和动静摩擦系数比变化时系统也有类似的特性。

对比引入Washout滤波器前后系统的相图，得到Washout滤波器方法使系统的零平衡点由原来的亚临界Hopf分岔变成了超临界Hopf分岔，而且自激振动振幅明显减小，拓扑结构得到了明显的改善。因此，通过在原系统中加入Washout滤波器设计的非线性控制器对摩擦系统进行分岔控制是一种比较有效的方法，这为实际生产中自激振动的控制提供了参考。

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第一作者夏东超男，硕士生，1990年生

通信作者李万莉女，博士，教授，博士生导师，1965年生

第一作者朱会杰男，博士生，1987年1月生

通信作者王新晴男，博士，教授，1963年7月生