利用横波讨论产生半波损失的条件*①

利用横波讨论产生半波损失的条件*①

周 越

(北京林业大学理学院北京100083)

张国锋

(北京航空航天大学物理科学与核能工程学院北京100191)

*中央高校基本科研业务费专项资金资助，项目编号：TD2014-04；北京航空航天大学校级重点教改项目资助，项目编号：4325011

摘 要：基于弦线上传播的机械横波定量讨论了产生半波损失的条件.

关键词：机械波半波损失反射

作者简介：周越(1982- )，男，讲师，主要从事普通物理和电子学教学与研究工作.

通讯作者：张国锋(1978-)，男，副教授，主要从事量子光学、量子信息学的研究工作.

收稿日期：(2014-11-17)

1引言

机械波传播到介质分界面时一般会发生反射和透射现象. 根据反射面的性质不同，反射波相对于入射波的相位可能发生π的跃变，称为半波损失. 对于产生半波损失的条件，限于课时和篇幅，很多教材只是直接给出结论，即当机械波从密度ρ和波速u乘积较小的介质入射到ρu较大的介质的分界面时，反射波存在半波损失；反之则不存在半波损失[1]. 部分教材以弦线上传播的简谐波为例，直观地展示波为何在固定端的反射存在半波损失，而在自由端的反射不存在半波损失[2]. 但是，实际的介质分界面并非是完全固定或绝对自由的，用上述实例来说明问题，学生仍普遍感到人为性较强. 如果能用一个比较简单的模型定量说明产生半波损失的条件，有利于学生加深对这个问题的理解. 在弦线上传播的简谐横波图像直观，且不涉及材料力学的背景知识，是较理想的物理系统. 本文在文献[2]中模型的基础上略加改变，给出一种简明的定量分析方法，便于学生理解和接受.

2物理模型

考虑如图1所示的系统，两根不同材质的弦线通过一个轻环相连，轻环套在一个竖直的杆上，并可以沿竖杆无摩擦地滑动；两根弦线分别用T1和T2的力拉紧. 取轻环的平衡位置为原点，以弦线的方向为x轴，竖杆的方向为y轴建立坐标系.

图1　介质分界面示意图

假定有一列向x轴正方向传播的简谐横波，在轻环处发生反射和透射,则在轻环的左侧，每个质点的振动为入射波和反射波的叠加，可以一般地表示为

(1)

其中右边第一项和第二项分别为入射波和反射波. 在x轴正半轴只有沿原方向传播的透射波，其波动方程为

(2)

在以上两式中u1和u2分别是两种材质弦线中的波速.

3相位和振幅的关系

在介质分界面处，入射波、反射波和透射波的相位关系取决于φ1，φ2和φ3的值，下面分析三者的关系. 根据弦线在x=0处的连续性可得y1(0,t)=y2(0,t)，因此有

A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)=

A3cos(ωt+φ3)

(3)

A1sinφ1+A2sinφ2=A3sinφ3

(4)

A1cosφ1+A2cosφ2=A3cosφ3

(5)

由于轻环的质量可忽略，要使轻环的加速度为有限值，轻环在y轴方向所受的合力必须趋于零. 由图2可知，轻环两侧的弦线在水平方向上的张力和弦线斜率的乘积相等.

图2　轻环的受力分析

这样得到第二个边界条件

(6)

将式(1)、(2)代入可得

(7)

ρ1u1A1sinφ1-ρ1u1A2sinφ2=ρ2u2A3sinφ3

(8)

ρ1u1A1cosφ1-ρ1u1A2cosφ2=ρ2u2A3cosφ3

(9)

由式(4)、(8)可得

(10)

(11)

由式(5)、(9)可得

(12)

(13)

利用以上4个关系可以得到

tanφ1=tanφ2=tanφ3

即入射波、反射波和透射波在分界面处的相位或者相同，或者相差π. 由式(11)可知，当ρ1u1>ρ2u2时，sinφ1和sinφ2同号，故入射波与反射波同相；当ρ1u1<ρ2u2时，sinφ1和sinφ2异号，因此φ2=φ1+π，反射波相对于入射波的相位发生了π的跃变，即所谓半波损失. 而无论两种介质的ρu是何种关系，sinφ3和sinφ1均同号，因此在任何情况下透射波都不存在半波损失.

式(10)和式(11)同时还给出了反射波和透射波的幅度关系. 一般而言，弦线上既存在反射波又存在透射波. 当ρ1u1=ρ2u2时，A2=0，介质分界面处无反射；当ρ2趋于零或者右侧弦线不存在时，轻环对左侧弦线的作用力无y轴方向的分量，对应于自由端反射的情况，这时A2=A1，A3=0，发生全反射且反射面为驻波的波腹；当ρ2趋于∞时，右侧弦线的位移趋于零，相当于轻环被固定在平衡位置上，对应于固定端反射的情况，这时A2=-A1，A3=0，发生全反射且反射面为驻波的波节.

参 考 文 献

1张文杰,曹阳. 大学物理教程.北京：中国农业大学出版社,2009. 65

2哈里德，瑞斯尼克，沃克．物理学基础．北京：机械工业出版社，2015.416

Discussion on the Condition of Half-wave

Loss Using Transverse Wave

Abstract:The condition of half-wave loss is discussed based on the transverse mechanical wave on a string.

Key words: mechanical wave; half-wave loss; reflection