弱链对角占优M矩阵的‖A-1‖￥的上界序列

弱链对角占优M矩阵的‖A-1‖的上界序列

蒋建新，李艳艳

(文山学院数学学院，云南文山663000)

摘要：研究了弱链对角占优M矩阵A的逆矩阵A-1的元素，与‖A-1‖界的估计问题。利用迭代的方法，给出了A-1元素收敛的上，下界序列，同时也得到了‖A-1‖单调递减且收敛的上界序列。这些新的结果包含了关于该类问题已有的研究结果。

关键词：弱链对角占优矩阵；M矩阵；范数；上界

收稿日期:2015-03-01

基金项目:云南省教育厅科学研究

作者简介:蒋建新(1981-),男，甘肃天水人，讲师，硕士，主要从事矩阵理论及应用研究。

中图分类号：O151.21文献标志码：A

0引言

关于弱链对角占优M矩阵A的逆矩阵A-1的元素及‖A-1‖的估计，1996年，P.N.Shivakumar[1]就进行了研究，并给出许多经典结果。2010年，黄廷祝、朱燕[2]改进了文献[1]中的结果。本文仍然研究该类问题，给出A-1的元素收敛的上下界序列，‖A-1‖单调递减且收敛的上界序列。

将去掉A的前n1行，前n1列的主子矩阵用A(n1,n) 表示。

引理1 [1]若A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优的M矩阵，则B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)仍是弱链对角占优的M矩阵，且B的逆矩阵是非负矩阵。

引理2 [1]若A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优的M矩阵，B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)，

A-1=(αij)，B-1=(βij)。则

当J(A)=N时, Δ≥a11(1-d1l1)≥a11(1-d1)。

引入一些符号

1主要结果

引理3 [3]设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优的M矩阵，则A-1=(αij)存在且

(1)

(2)

定理1设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M矩阵，则∀i,j∈N ,j≠i ，t=1,2,…, 下列式子成立

定理2.1设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优的M矩阵，则A-1=(αij)存在，∀i,j∈N ,j≠i ，t=1,2,…, 且

(3)

(4)

证明：当(3)式中的t=0时，就是(1)式。

下面证明t=1 时不等式成立。

因为AA-1=I，则将其写成分量形式

移项取绝对值得

(5)

利用(5)式，用同样的方法再进行放缩得

(6)

用类似的方法可证t=2,3,… 时，不等式(3)成立。

下面证明(4)式

应用(3)式，对任意i∈N，t=1,2,… ，

注：由(3)式和(4)式的证明过程易知，(3)式和(4)式包含了(1)式和(2)式。

定理2.2设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M矩阵， B=A(1，n)，A-1=(αij)，B-1=(βij)，则

‖A-1‖。

(7)

(8)

若h1hi(2in)时，

MA

。

若h1hi(2in)时

MA=h1

综上两种情况

对定理2应用迭代法得下面定理

定理3设A是弱链对角占优的M矩阵，则

‖A-1‖。

(9)

数值算例

应用定理3当t=5时得‖A-1‖1.1134。

参考文献:

[1]SHIVAKUMAR P N，CHEW K H. A sufficient condition for nonvanishing of determinants [J]. Proc Amer.Math.Soc，1974(43)：63-66.

[2]HUANG T Z, ZHU Y. Estimation of ‖A-1‖for weakly chained diagonally dominant M matrices[J]. Linear Algebra and its Applications，2010(432):670-677.

[3]李艳艳，李耀堂. 弱链对角占优矩阵的‖A-1‖的新界 [J]. 云南民族大学学报(自然科学版)，2014, 23(4)259-261.

责任编辑：程艳艳

Upper Bound Sequence of‖A-1‖for Weakly Chained Diagonal DominanceMMatrix

JIANG Jianxin, LI Yanyan

(College of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract：This paper studies the elements of the inverse matrixA-1of weakly chained diagonal dominanceMmatrixAand the estimation problem of ‖A-1‖bound, which uses the iterative method to give the sequences of upper and lower bounds ofA-1convergence on the elements, and at the same time, to obtain the sequence of upper bound of ‖A-1‖monotone decreasing and convergence. These new results include the existed findings concerning this kind of problems.

Keywords：weakly chained diagonal dominance matrix;Mmatrix; norm; upper bound