一元h-F凸函数的导数判别法

一元h-F凸函数的导数判别法

时统业，万福，丁霞

(海军指挥学院信息系，南京211800)

[摘要]利用h-F凸函数的定义，在h满足一定条件的情况下，导出满足条件P1,P2的h-F凸函数的等价条件.

[关键词]h-F凸函数； 等价条件； 可导函数

[收稿日期]2015-03-09

[中图分类号]O178[文献标识码]C

1引言

定义1[1]称集合K⊂n是关于F的广义凸集，若存在向量值映射F∶K×K×[0，1]→n，使得∀λ∈[0，1]，∀x，y∈K，有F(x，y，λ)∈K.

与广义凸集有关的文献可见[1-8].

定义2[2]设K⊂n是关于F的广义凸集，称F在K上满足条件P1,P2，若∀α，β∈[0，1]，且α<β，∀x，y∈K，有

定义3[3]设K⊂n，J⊂，[0，1]⊂J.h∶J→[0，+∞)且h不恒为零，集合K⊂n是关于F的广义凸集，称f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函数，若∀λ∈[0，1]，∀x，y∈K，有

f[F(x,y,λ)]≤h(λ)f(x)+h(1-λ)f(y).

在定义3中，若

F(x，y，λ)=λx+(1-λ)y，h(λ)=λ，

本文的目的是当F在K上满足条件P1, P2，h满足一定条件，F(x，y，λ)是[0，1]上关于λ的连续函数，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数，给出h-F凸函数的等价条件.

2主要结果

定理1设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P1，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)满足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)和h′-(1)存在.对任意x，y∈K，F(x，y，λ)是[0，1]上关于λ的连续函数，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数.若f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函数，则对任意x，y∈K，α∈[0，1]，有

(1)

证因为f在K上是h-F凸函数，F在K上满足条件P1，所以对任意x，y∈K，α，β∈[0，1]，α<β，有

由此得

(2)

(3)

在式(3)中，令β→α+0,得

对任意α∈[0，1)成立.在式(3)中，令α→β-0,得

对任意β∈(0，1]成立.综上所述，对任意α∈[0，1]，式(1)成立.

定理2设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P2，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)满足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)和h′-(1)存在，对任意x，y∈K，F(x，y，λ)是[0，1]上关于λ的连续函数，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数.若f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函数，则对任意x，y∈K，α∈[0，1)，有

(4)

证因为f在K上是h-F凸函数，F在K上满足条件P2，所以对任意x，y∈K，α，β∈[0，1]，α<β，有

由此得

(5)

(6)

在式(6)中，令β→α+0得式(4)对任意α∈[0，1)成立.

定理3设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P1，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)，h′+(0)和h′-(1)存在，对任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数.若对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，则有式(1)成立.

证由式(4)可知，对任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

(7)

在式(7)中，以F(x，y，1)替代x，则由条件P1，对任意α∈(0，1)，F(y，x，1-α)化为

F(y,F(x,y,1),1-α)=F(x,y,α)，

而对任意λ∈(0，1]，F(y，x，λ)化为

F(y,F(x,y,1),λ)=F(x,y,1-λ)，

于是式(7)化为式(1).

定理4设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P1，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)，对任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数.若对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(1),(4)成立，则对任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

f(F(x,y,α))≤h(α)f(x)+h(1-α)f(y).

(8)

证式(4)即

(9)

式(9)和式(1)分别乘以1-α和α，然后相加得

式(8)得证.

定理5设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P1，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)，h′+(0)和h′-(1)存在，对任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数.若对任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，则对任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

(10)

证由式(1)可知，对任意x，y∈K，α∈[0，1]，有

(11)

在式(11)中，以F(x，y，1)替代x，则由定理3的证明可知，当α∈(0，1)时，式(11)化为

也即式(10)成立.

定理6设K⊂是关于F的广义凸集，F在K上满足条件P1，[0，1]⊂J⊂.h∶J→[0，+∞)满足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)>0，h′-(1)>0，对任意α∈[0，1]有

对任意x，y∈K，F(x，y，λ)是[0，1]上关于λ的连续函数，f(F(x，y，λ))是[0，1]上关于λ的可导函数，则下面命题等价：

(i)f在K上是h-F凸函数；

(ii) 对任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，且有

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y)；

(iii) 对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，且有

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y).

证(i)⟹(ii).由定理1得证.

(ii) ⟹ (iii).若对任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，则由定理5，对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(10)成立.又因f(F(x,y,1))≤f(x)，h′+(0)>0，故对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立.

(iii) ⟹ (i).若对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，则由定理3知，对任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(1)也成立.再由定理4知对任意x，y∈K，α∈(0，1)，有式(8)成立.又因

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y)，

故式(8)对α=0和α=1都成立，由定义知f在K上是h-F凸函数.

推论6.1设f(x)是[a，b]⊂(0，∞)上的可导函数，则f∶[a，b]→[0，+∞)在I上是h凸函数当且仅当对任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤(z-y)f′(z).

(12)

证根据定理6，只需证明当F(x，y，λ)=λx+(1-λ)y时，式(1)与式(12)等价.事实上，若式(12)成立，取z=αx+(1-α)y并注意到

与推论6.1的证明类似，还可证明下面的推论6.2和推论6.3.

推论6.2设f(x)是[a，b]⊂(0，∞)上的可导函数，则f∶[a，b]→[0，+∞)是h-GA凸函数当且仅当对任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤zf′(z)(lnz-lny).

推论6.3设f(x)是[a，b]⊂(0，∞)上的可导函数，则f∶[a，b]⊂(0，∞)→[0，+∞)在[a，b]上是h-p凸函数当且仅当对任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

[参考文献]

[1]黄金莹，赵宇，方秀男.F-G广义凸函数与拟凸函数[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2011，28(4)：11-15.

[2]黄金莹，赵宇.广义凸函数的Hadamard不等式[J].重庆师范大学学报(自然科学版)， 2013，30(4)：1-5.

[3]王国栋.h-F凸函数的一类Hadamard不等式[J].重庆师范大学学报(自然科学版)， 2014，31(6)：1-4.

[4]康兆敏，赵宇，方秀男.F-G广义凸函数的若干性质[J].贵州师范大学学报(自然科学版)，2011,29(2)：72-76.

[5]黄金莹，赵宇.广义凸函数与弱近似凸集[J].黑龙江大学学报(自然科学版)，2011，28(2)：200-205.

[6]赵宇，黄金莹.半严格F-G广义凸函数[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2011，28(1)：7-12.

[7]赵宇，黄金莹，康兆敏.广义凸函数的特征性质[J].大学数学，2011，27(6)：105-110.

[8]时统业，焦寨军，周国辉.F-G广义凸函数的一个性质及其应用[J].贵州师范大学学报(自然科学版)，2012，30(5)：41-45.

[9]Varošanec S.Onh-convexity[J].J Math Anal Appl，2007，326(1)：303-311.

Derivation Diagnostic Method of h-F-Convex

Functions of One Variable

SHITong-ye，WANFu，DINGXia

(Department of Information, PLA Naval Command College，Nanjing 211800, China)

Abstract:With the aid of the definition of h-F-convex functions，several equivalent conditions of h-F-convex functions satisfying condition P1,P2 are obtained when h satisfying certain conditions.

Key words:h-F-convex function; equivalent condition; differentiable function