关于LTI系统零点跳变问题的研究

宋慧超 丛梦龙 孙丹丹

摘 要：在确定性输入信号作用下的集总参数线性时不变系统简称LTI系统，包括连续时间系统与离散时间系统。在连续时间系统分析中，由于激励信号的加入，系统状态在零时刻可能发生跳变，从而无法利用原有的起始储能确定系统响应的初值，为系统分析增加了难度。针对于此，文中提出了解决零点跳变的两种方法：冲激函数匹配法与拉普拉斯变换法。从时域、频域角度，通过实例验证讨论了两种方法各自的特点，对理解信号与系统理论的基本概念与分析方法有一定帮助。

关键词：时域分析 拉普拉斯变换 0-状态 0+状态

中图分类号：TP31 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（a）-0038-02

Research on the Problem of Initial State Change in LTI System

Song Huichao Cong Menglong Sun Dandan

（College of Physics and Electronic Information， Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao Inner Mongolia，028000，China）

Abstract：Under the action of deterministic input signals，the lumped parameter linear time-invariant system is called LTI system for short，which includes continuous-time system and discrete-time system.In the continuous time system analysis， the system state may change at the initial moment because of the excitation signal.We can not use the original starting storage to determine the initial value of the system response，which adds difficulty to the system analysis.Two methods are proposed to solve the problem：Impulse function matching method and method of Laplace transform. The characteristics of the two methods are described by examples from time domain and frequency domain.It helps us to understand the basic concepts and analysis methods of signal and system theory.

Key Words：Time-domain analysis；Laplace transform；State of 0-；State of 0+

在信号与系统的研究中，线性时不变（LTI）系统的数学模型是常系数线性微分方程，输出响应通过求解微分方程得出。基本解法是时域经典法，它将方程的完全响应分为自由响应和强迫响应[1]，其中自由响应是指函数的线性组合，通过齐次方程的特征根确定，而强迫响应与输入激励有关，可通过方程自由项得出。但仅凭微分方程和输入激励是无法得到最终的完全响应的，还需要一组求解区间内的边界条件，用以确定完全响应中的未知常数A，这组边界条件我们称之为初始条件。由于输入激励在零时刻加入，常使初始条件在瞬间（即零点）发生变化，为系统分析带来一定麻烦，当零点跳变存在时，如何求出系统的完全响应一直是系统分析中的难点，也是该文的研究重点。

1 0-到0+状态的跳变

在系统分析中，常认为激励信号是在t=0时刻加入的，完全响应区间定义为。如果在激励加入前的瞬时，系统完全响应的状态定为，这组状态称为系统的起始状态（即状态），它表示在激励加入前，系统原有的起始储能情况。激励信号加入的瞬时，起始状态在到时刻可能发生跳变，跳变后的状态定为，称为初始条件（即状态）[2]。在用时域经典法求解系统响应时，必须通过系统的起始储能（状态）和激励求出初始条件（状态），从而确定完全响应的待定系数A。为了从线性角度更好的理解LTI系统，我们常将完全响应分解为零输入响应和零状态响应，其中，没有外加激励作用，仅由系统的起始储能（状态）引起的响应称为零输入响应；没有起始储能，完全由激励信号引起的响应称为零状态响应。以下的讨论都以这种分解方法为准。

2 冲激函数匹配法

从时域角度看，当系统已经用微分方程表示时，系统的状态到状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含冲激函数δ（t）及其各阶导数，如果包含说明状态到状态发生跳变，，这时确定可用冲激函数匹配法。其原理为t=0时方程左右两端冲激函数δ（t）及其各阶导数对应相等[3]。下面通过实例具体分析。

【例】已知一LTI系统微分方程为，激

励信号，起始状态，，试求出它的完全响应及零输入、零状态响应。

解：（1）零输入响应：零输入响应是方程齐次解的一部分，其形式为，其中α为特征根。

已知系统的特征方程为，

则特征根为

初步确定：

（1）

其中待定系数A须通过初始条件（状态）确定。由于无外加激励作用，系统在t=0时刻没有跳变，由题给条件可知

（2）

将式（2）代入式（1）得出：

（2）零状态响应：零状态响应由齐次解的另一部分（形式与零输入响应相同）与特解构成的，因此可以初步判定：

（3）

其中可通过自由项得出，而待定系数B由初始条件（状态）确定。

①的求解：将激励信号代入微分方程右端，得出

当时自由项为0，因此特解=0。

②状态的判断：由于等式右端自由项含δ（t），在零点产生跳变，即，。同时对于来说，不考虑起始储能，认为。那么初始条件需用冲激函数匹配法来确定[4]。

在t=0时刻，方程右端包含冲激函数δ（t），根据方程左右两端冲激函数δ（t）及其各阶导数对应相等，可以断定中必定包含δ（t），由此推出包含，其中，称为单位跳变函数[5]，指由于函数内部包含阶跃信号，在零时刻产生的从0到1的跳变。在零时刻不含冲激信号及单位跳变函数，因此对于t=0时刻，可设

（4）

将式（4）带入原微分方程得：，解出：a=1

在t=0时刻，没有跳变，但中包含了一个，从状态到状态产生了一个单位跳变。因此

（5）

将式（5）代入式（3）可以得出：

零输入响应与零状态响应相加可以得到系统的完全响应

通过以上例子看出，对于存在零点跳变的系统来说，从时域角度利用冲激函数匹配法求解初始条件（状态），进而确定完全响应的方法是特别复杂难懂的。下面给出另一种系统分析方法——拉普拉斯变换法，从频域角度去分析系统，可以越过零点跳变问题直接求出系统响应。

3 拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）是由傅里叶变换演化而来的，其性质、定义与傅里叶变换类似，拉氏变换建立了时域与复频域（s域）间的联系，变换式更为简洁。利用拉氏变换求解微分方程，原有的微积分运算被转换成了乘除法运算，微分方程化为了代数方程，求解步骤得到简化。

为便于研究零点跳变的问题，我们规定单边拉氏变换的积分下限从时刻开始，将冲激信号δ（t）在零时刻的作用直接考虑在变换之中。系统分析过程中，可以直接利用起始储能的状态来求得系统响应，无需再考虑到状态的转换。

仍以上题为例，对微分方程两端同时求拉氏变换[6]，根据拉氏变换的微分性质，可以得出

（6）

将式（6）代入原方程后，时域微分方程变为了复频域（s域）的代数方程。

整理得：

（7）

可以看出，在式（7）系统响应的拉氏变换中，前一部分只与在时刻状态（起始储能）有关，与激励无关，是零输入响应，记为；后一部分只与激励有关，不考虑起始储能的影响，是零状态响应，记为。

根据题给条件，可以求出两者的拉氏变换，，

分别求拉氏逆变换得：

，

相加得出系统完全响应

此结果与时域分析中得到的系统响应完全相同，但运算过程大为简化。

4 结语

从以上分析可以看出，用时域方法研究零点跳变问题，虽然有些复杂，但物理概念清晰，能帮助我们更好的理解信号处理过程。利用拉氏变换从复频域角度分析，则可以简化计算过程，不需要考虑零点跳变，直接利用时刻状态（起始储能）得出系统响应。该文通过实例讨论，从时域、频域角度总结了系统分析的基本解法，对深入认识连续时间系统零点跳变问题有一定的参考价值。

参考文献

[1] 桂静宜.“信号与系统”课程教学方法初探[J].湖北理工学院学报，2015，31（1）：64-67.

[2] 张登奇，张璇.冲激函数匹配法在初始条件计算中的应用[J].湖南理工学院学报，2011，24（3）：31-34.

[3] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：50.

[4] 钟佑明.关于冲激函数匹配法的教学研究[J].电气电子教学学报，2011，33（3）：117-120.

[5] 翟亚芳.冲激函数匹配法在时域分析法中的应用[J].安阳工学院学报，2013，12（4）：53-55.

[6] 张楠，李庆华，孙明灿.LTI连续时间系统零状态响应的求解方法[J].齐鲁工业大学学报，2014，28（4）：27-29.