基于因果微积分定理讨论时域分析和s域分析

杨忠根,任 蕾,陈红亮

(上海海事大学电子工程系,上海 200135)

0 引言

一些信号与系统的经典教材[1-3]并未清楚交待拉氏变换中的几个重要性质:时域微分定理、时域积分定理、初值定理和终值定理的物理意义,更没有深入讨论系统时域分析与s域分析的联系。在我们历年的“信号与系统”课程的教学[4-5]中,通过引入因果微分定理,并通过它来解释这几个性质并建立时域分析与s域分析的联系与比较,收到了良好的教学效果。

1 用因果微分定理推导拉氏变换定理

现在,对拉氏变换的时域微积分性质、初值定理和终值定理进行推导。

1)因果微分定理[4-5]

下列关系称为因果微分定理:

因果微分定理叙述了信号各阶导数的因果分量与信号因果分量的各阶导数之间的关系,它们之差与初始条件有关。在本文,下标的+号标记因果化运算。

2)因果信号微分的拉氏变换

拉氏变换是对信号因果分量 f+(t)定义的,其反变换为

因此,信号因果分量的导数为

反复求导后,有

3)拉氏变换的时域微分性质

在拉氏变换中,通常表述信号导数的因果分量的拉氏变换。这需要对式(1)至(3)的因果微分定理的两边取拉氏变换。这样,我们有如下所述的拉氏变换时域微分性质:

所以,式(8)至式(10)表达的拉氏变换时域微分性质实际上是因果微分定理的s域表达式。

4)拉氏变换的初值定理

把式(8)中的0-改为 0+,有sF(s)-f(0+)=对它取 s ※+∞的极限 ,注意到使得就得到拉氏变换的初值定理:

5)拉氏变换的终值定理

这就是拉氏变换的终值定理:

2 用因果积分定理推导拉氏变换性质

1)因果积分定理

把等式

的两边因果化后,考虑到因果信号的积分必因果,就得到因果积分定理为

其中,f(-1)(t)和[f+(t)](-1)分别是f(t)和 f+(t)的积分。它叙述了信号积分的因果分量与信号因果分量积分的关系。

2)因果信号积分的拉氏变换

对式(5)积分后,有

它叙述了对因果信号而言的拉氏变换时域积分定理。

3)拉氏变换的时域积分性质

为得到信号积分后的因果分量的拉氏变换,对式(13)表述的因果积分定理的两边取拉氏变换,就得到如下所述的拉氏变换时域积分定理:

它是因果积分定理的s域表达式。

3 系统时域分析和s域分析的比较

由n阶线性常系数微分方程

描述的n阶LTI系统的时域分析和s域分析的原理和方法是非常相似的。前者基于因果微分定理的时域表达式,后者基于因果微分定理的s域表达式。表1列出了一些重要内容的比较。从它可清楚地看出系统时域分析和s域分析之间的密切联系:s域表达式是时域表达式的拉氏变换[5]。

表1 系统时域分析和s域分析的比较

4 结语

从上述讨论可以得出以下结论:①拉氏变换的时域微分定理和时域积分定理是时域因果微分定理和时域因果积分定理的 s域版本;②对[f′(t)]+的拉氏变换取s※∞的极限就得到拉氏变换的初值定理,而对[f′(t)]+的拉氏变换取s※0的极限就得到拉氏变换的终值定理;③系统的时域分析和s域分析都是基于因果微分定理,其原理和方法十分相似,可以认为,s域分析是时域分析的s域版本。这些概念有助于明确时域分析与s域分析的密切联系。

当然,借助于部分分式分解技术,s域分析技术实际上无需求出对应的规范化系统的系统函数、等效零输入激励和等效零状态激励的拉氏变换,一般直接计算零输入响应和零状态响应的拉氏变换。这使得系统s域分析技术比时域分析技术更简捷。

[1] 郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000年

[2] 吴大正主编,杨林耀,张永瑞编.信号与系统(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998

[3] 刘树棠译,A.V.Oppenheim,A.S.Willsky,W.S.H.Nawab著,信号与系统(第二版)[M].西安:西安交通大学出版社,1998年

[4] 杨忠根,任蕾,陈红亮.因果微分定理及其应用[J].南京:电气电子教学学报,2009,31(4):50-52

[5] 杨忠根,任蕾,陈红亮.信号与系统[M].北京:电子工业出版社,2009年7月