高中数学应用题中的最值问题研究

孙国

【摘要】高中数学与我们的生活息息相关，随着教育改革的不断深入，高中数学中应用题受到广泛关注，尤其在江苏高考中是每年必考的题型，而求应用题的最值问题又是高中应用题的常见题型，因此，对高中数学中应用题的最值问题展开研究具有重要意义。本文对高中数学中解应用题的步骤做出归纳，总结应用题中求最值的常见类型，对如何利用数学模型来求应用题中的最值做出详细解释，旨在为高中数学教学提供理论依据。

【关键词】高中数学 应用题 最值问题 数学模型

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）12-0116-02

我国的课程改革对高中数学教学的要求不断提高，为响应新课改的要求，高中数学老师对教学模式进行改进，在教学中逐渐重视对学生进行能力培养，虽然取得了一定进步，但是高中数学教学中还是存在很多问题。高中数学应用题中求最值的问题一直是高中学生的弱点，阻碍学生成绩进步，因此，掌握求最值的方法，熟练解决应用题对学好高中数学至关重要。

一、解应用题的步骤

（一）审题

审题是做应用题的第一步，看懂题意才能开始做题。

首先，分层次。高中数学应用题的文字比较多，背景较复杂，所以，学生首先要做的是将题目的层次划分出来，突出重点，能够帮助学生更快理解题意。

其次，找关键词。学生要认真阅读题目，学会在冗长的文字中找出关键性的词语，例如，“利润最大化”，“最小距离”，“最优方案”等词汇。尤其要注意数字信息，大部分数字在之后的列式中会被利用起来。

最后，找关系。学生要找出数字和关键词的对应关系，将所有的关键条件串联起来，弄清题意，这一步是审题的关键。

（二）建立数学模型

高中数学应用题的解答必须要利用数学模型来进行。利用高中阶段学到的知识构建最适合题目的数学模型是快速高效解答应用题的重要途径。高中数学涉及到的知识广泛，其中函数知识是高中数学知识的重要组成部分，也是高考的必考点，因此，学会构建函数模型是学生做应用题的基础。除函数的知识外，要做好数学应用题，学生还要掌握不等式、数列等内容。数学模型的种类要根据具体情况对题目进行分析才能确定，分析方法有很多种，例如，关系分析法是通过分析各关键量之间的数量关系来建立模型；列表分析法是指将题目中所给的条件用表格更直观的表示出来；图像分析法是指对题中所给的图像进行分析。

（三）利用模型求解

构建数学模型的目的是将题目中的信息用所学到的数学知识来进行整合，从而求出答案。在对模型求解的过程中需要用到很多公式来对原始的式子进行变化推理。这个过程要求学生基础知识要扎实，掌握课本中的公式和定理并学会运用。

（四）还原

求解后，将得到的答案运用到应用题中，得出最后结论，完成应用题的解答。在此过程中，我们还需要多关注实际问题背景，注意应用题中变量的实际范围，因此，在还原时，我们要注意检验，既要检验所得结果是否适合数学模型，也要检验结果是否符合实际问题的要求。

二、高中数学应用题中常见的求最值的类型

函数型。高中的函数分为基本初等函数、复合函数以及分段函数，其中复合函数在高考中最为常见。复合函数求最值，要利用公式、定理、换元法等方法将复合函数变化出基本初等函数的形式，降低难度，再根据函数的图形和性质求出最值。

如以下例题：

例1：当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2：求y=sin2x-2cos2x+3的最大值。

例3：求y=2sinx（2cosx+sinx）-3的最大值。

不等式型。这类题型是以不等式的基本性质来构建题型的， 在求最值时，可用线性规划法来解题。

例1：设x，y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0，y≥0

若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则+的最小值为（ ）。

数列型。等差、等比数列的求和公式是这类题型考察的重点。在解决这类题目时，可利用求导法或作差法求出最值。

例1：数列{an}的通项an=，则数列{an}中的最大值是________。

综合型。这类题型是将多个模块的数学知识结合起来考察，同样，解题时也要运用多种方法来求最值。

三、如何利用数学模型来求应用题中的最值问题

解应用题时，如何将应用题中的有效信息提取出来，并结合数学语言建立数学模型是重难点。以下内容通过具体的例子来进行分析。

例2 某公司要租写字楼，需要的写字楼有可能为10层以上，每一层为2000平方米，公司的租用预算为20600000元人民币，当层数大于或等于10时，每一平米要化肥（560+48x）元。若要保证每平米的综合花费最低，公司该租用多少层？（综合费用=购地费+建筑费）

解：f（x）=（560+48x）+（2160×1000）/2000x

=560+48x+10800/x （x≥10）

用基本不等式来求最值，得出 f（x）min=2000

当且仅当10800/x=48x时，等号成立，求出x=15

答：该公司应该租用15层写字楼才能够保证每平米的综合花费最少。

以上解题过程为，先审题，弄清每平方米的综合费用与什么因素有关，选出题中的重要数据，根据题意列出函数关系式，运用基本不等式法来求最值，将得出的结果还原到应用题中，写出答案。

总之，高中数学应用题难度较大，要求高中学生必须掌握扎实的数学知识，严格按照解应用题的步骤进行解题，先仔细审题，运用数学模型来将文字转变为数学语言，再选出最合适的方法求出最值，将答案还原到应用题中。只有这样，才能够突破应用题的难关，提高数学成绩。

参考文献：

[1]陈燕琴.新课标下高中数学应用题中的最值问题研究[J].考试周刊，2014，（98）：59.

[2]黄琰红.培养建模能力——高中应用题教学的源头活水[J].新课程·中旬，2014，（6）：174.

[3]吴小银.新课标下高中数学应用题中的最值问题研究[J].理科考试研究（高中版），2015，22（1）：13.