有点火窗口限制的ALCM下滑段多约束制导策略

胡锦川，陈万春

(北京航空航天大学 宇航学院，北京100191)

0 引言

空射巡航导弹(ALCM)的纵向弹道一般分为下滑段、平飞段和俯冲段。下滑段是指从载机投放至拉平点火之间的弹道，不仅需满足弹道拉平和点火窗口要求，还需满足临界马赫数、迎角和过载等过程约束。合理设计下滑段的制导策略，不仅可以增大ALCM的可投放区，还对保证ALCM点火和顺利转平具有重要意义。

传统的下滑段制导主要采用跟踪制导方法，该方法分为标准弹道设计和跟踪制导律设计两部分。其中标准弹道主要通过方案弹道规划［1-4］和弹道优化［5-6］获得，而跟踪制导律的设计方法则包括PID经典控制方法［7-8］、反馈线性化［9］和在线轨迹更新［10］等。跟踪制导依赖于标称轨迹，并且在大扰动下的精度相对较差。基于最优控制的显式制导策略［11-14］是解决下滑段制导问题的最新方法，具有适应性强、鲁棒性好的特点。Ohlmeyer等［11］提出的广义显示制导律能够同时满足脱靶量和碰撞角约束，同时使得终端法向加速度收敛到零。Xing等［12］提出的分段最优制导律，能同时满足终端位置、弹道倾角和迎角要求，并考虑了一阶延迟环节。

本文在上述显式制导律的基础上，进一步加入了终端地速约束，获得了能够同时满足终端高度、弹道倾角、地速和迎角约束的最优法向加速度，同时还闭环考虑了多种过程约束和风干扰的影响，最终获得了满足多约束要求的下滑段制导策略。

1 问题建模

1.1 运动建模

地面坐标系下，ALCM下滑段纵平面运动方程如下:

式中:V，γ，H，x分别为地面坐标系下的速度(简称地速)、弹道倾角、高度和纵程;g为重力加速度;m为质量;L和D分别为升力和阻力，其表达式为:

式中:S为气动参考面积;CL和CD分别为升力系数和阻力系数，与马赫数Ma和迎角α相关;q为动压:

式中:ρ为大气密度;Va为空速，其与地速的关系为:

式中:Vws为风速在射面内的分量。

1.2 约束建模

ALCM在下滑段同时包含多个终端约束和过程约束。

1.2.1 临界马赫数约束

ALCM在下滑过程中，空速马赫数不能超过临界马赫数，否则其气动特性将会急剧地变坏，使操纵困难。临界马赫数约束如下:

式中:Maa为空速马赫数(Maa=Va/c，c为声速);Macr为临界马赫数。

1.2.2 控制能力约束

ALCM下滑段经历的空域非常大，动压变化大，导致可用过载变化范围大。因此ALCM需同时考虑迎角范围约束和可用过载约束:

式中:n为法向过载，n=L/(mg);nmax，αmin和 αmax分别为最大可用法向过载、最小可用迎角和最大可用迎角。

1.2.3 点火窗口约束

以航空发动机为动力的ALCM需保证点火时进气道气流充足且稳定，因此下滑段的终点需满足点火窗口约束:

式中:αf和 Vaf分别为终端迎角和空速;αi，low，αi，up，Vi，low，Vi，up分别为最小点火迎角、最大点火迎角、最小点火空速和最大点火空速，它们均与点火高度(Hi)相关，如图1所示。

图1 点火窗口Fig.1 Ignition window

在制导时，为了保证扰动下终端迎角和空速能够满足点火窗口要求，αf和Vaf通常取点火窗口的中间值:

式中:Hf和γf分别为终端高度和弹道倾角。

1.2.4 飞行时间约束

ALCM快速下滑有助于提高其隐蔽性，同时弹载电源也要求导弹的下滑时间不能过长，因此飞行时间需满足如下约束:

式中:tmax为最大飞行时间。

1.3 风场建模

在下滑段的制导中，临界马赫数约束和终端约束均涉及空速。但考虑到隐身等要求，ALCM往往不安装空速管，使得飞行过程中空速无法测量，只能利用惯导获得的地速信息来估算其大小。若完全忽略风干扰的影响，则可能造成空速的散布范围大于点火空速窗口，如图2所示(地速取中间空速时风干扰下的空速散布范围)，因此需要通过估算风速来减小估算空速的散布［15-17］。

图2 风干扰对空速的影响Fig.2 The effect of wind interference on airspeed

忽略随机变化的突风影响，对流层射面内的平均风廓线近似满足如下关系:

式中:k1和b为准定常风模型的参数;k2为修正系数。由投放时刻载机获得的射面风速信息估得:

式中:H0为投放高度;Vws0为投放时载机测得的射面风速。

利用上述风场模型，可将点火空速约束和临界马赫数约束转化为点火地速约束和最大地速约束:

式中:Vf为终端地速;Vi和Vmax分别为点火地速和临界马赫数确定的最大地速:

式中:ΔV1为考虑风速误差的速度安全余量。

2 下滑段多约束制导策略

2.1 制导策略

下滑段的约束可分为三大类:第一类为终端约束，包括终端高度、弹道倾角、地速和迎角约束;第二类为与制导指令相关的过程约束，包括临界马赫数约束、迎角约束和法向过载约束;第三类为飞行时间约束。根据上述各类约束的特点，设计如下制导策略:

(1)第一类约束关系到能否顺利点火，决定了制导指令的基本形式，将采用最优控制理论进行求解;

(2)第二类约束关系到飞行品质，决定了制导指令的边界;

(3)由于下滑段存在很强的速度约束，因此飞行时间可调的范围较小，在制导时可忽略其影响，但飞行时间约束会影响可投放区的大小。

2.2 多终端约束优化问题建模

忽略过程约束影响，下滑段制导几何关系如图3所示。图中，an为法向加速度，将作为下滑段的制导指令，an=L/m －g cosγ。

图3 制导几何关系Fig.3 Guidance geometry

下滑段制导问题的难点在于同时满足终端地速大小和方向的要求，为此，需要对速度微分方程进行线性化［18］。引入比能量e=V2/2+gh，对时间求导可得:

在下滑段ALCM处于自由滑翔状态，升阻比变化不剧烈。若假设在飞行过程中升阻比不变，则阻力可写为:

式中:K为下滑段的升阻比，在计算时取常值。将上式带入式(13)可得:

以x为自变量，并假设γ为小量，则由式(1)和式(14)可得下滑段线性化的运动方程为:

式中:kv=1/V2，设为常数;anc为仅考虑终端过程约束情况下的法向加速度，为控制变量;γ，H和e为状态变量，其终端约束为:

设目标函数为:

式中:xgo为剩余纵程;ani为点火迎角对应的法向加速度，它们分别满足如下关系式:

式中:xf为终端纵程;Li为迎角取(αi，low+ αi，up)/2 时对应的升力。式(17)给出的目标函数可使得在x→xf的时候anc→ani，从而保证终端迎角满足要求。

利用上述优化模型，可以获得同时满足下滑段点火点的高度、弹道倾角、地速和迎角要求的anc。

2.3 满足多终端约束的最优法向加速度

引入哈密尔顿函数:

式中:λ1，λ2和λ3分别为H，γ和e对应的协态变量，满足如下关系:

求解式(19)可得:

式中:λ10，λ20和 λ30为协态初值。

最优法向过载满足:

将式(20)带入式(21)并整理得:

式中:ν1=(λ10xf－λ20)kv+λ30/K。将式(22)带入

式(15)，并结合式(16)可得最优法向加速度为:

其中:

2.4 法向加速度边界

法向加速度边界由临界马赫数约束、迎角约束和法向过载约束共同确定。

2.4.1 临界马赫数约束

式(12)将临界马赫数约束转化为最大地速约束。为了满足该约束，当V逐渐接近Vmax，则需逐渐减小至零。由于法向过载越大则越小，因此该约束对应着法向过载下边界，其表达式如下:

式中:KD为D=－mg sinγ对应的升阻比;k1为制导指令光滑因子:

式中:ΔV2为速度常数。

2.4.2 迎角约束

最大迎角约束和最小迎角约束分别对应着法向加速度的上边界和下边界，如下所示:

式中:Lαmin和Lαmax分别为αmin和αmax对应的升力。

2.4.3 过载约束

过载约束对应着法向加速度的上边界:

2.4.4 法向加速度边界

总的来说，法向加速度边界为:

式中:aup和alow分别为下滑段法向加速度的上边界和下边界。

2.5 下滑段制导指令

综上可得，多约束条件下的下滑段制导指令为:

式中:an为下滑段法向加速度。

3 仿真校验

3.1 模型建立

为了校验上述下滑段制导策略的性能，选用战斧巡航导弹作为仿真模型，具体参数见表1。

表1 仿真参数Table 1 Simulation parameters

此外，导弹的气动数据采用Datcom估算，拟合如下:

其中:

3.2 下滑段多约束制导策略仿真验证

为了验证本文给出的下滑多约束制导策略的性能，将制导结果与打靶法优化结果进行了对比，其中打靶法的目标函数与式(17)相同。仿真条件见表2，结果如图4～图6所示。

图4 目标函数曲线Fig.4 Target function histories

由图4可以看出，由打靶法获得的最优解目标函数终值为15.03 m2/s4，而由制导策略得到的目标函数终值为15.35 m2/s4，两者仅相差2%。

图5 法向加速度曲线Fig.5 Normal acceleration histories

由图5可以看出，本文制导策略的加速度曲线与优化曲线基本重合，但存在一个凸起，这是由于该处的空速接近临界马赫数，制导指令中考虑了速度限制的影响。

图6 状态和迎角曲线Fig.6 States and angle of attack histories

由图6可以看出，制导策略获得的高度、弹道倾角、空速与迎角曲线均与打靶法的结果较为接近，均满足终端约束要求。

3.3 综合拉偏打靶

设飞行任务和拉偏参数如表3所示。

表3 拉偏设置Table 3 Disturbance conditions

分别采用本文制导策略和PID跟踪制导策略(打靶法优化结果)对滑翔段弹道进行1 000次打靶，得到的结果如图7～图10所示。图中，左子图为本文制导策略结果，右子图为打靶法结果。

图7 终端迎角和马赫数散布Fig.7 Final angles of attack and airspeed Mach

由图7可以看出，本文制导策略获得的终端迎角和空速马赫数均满足点火窗口要求，并且散布相对较小;而跟踪制导策略则有可能不满足点火窗口要求，并且散布相对较大。

图8 终端高度和弹道倾角误差Fig.8 Final height errors and ballistic bank errors

由图8可以看出，本文制导策略的终端高度和弹道倾角精度要优于跟踪制导策略。

图9 最大迎角和空速马赫数散布Fig.9 Maximum angle of attack and airspeed Mach

由图9可以看出，两种制导策略均存在不满足过程约束的情况，但本文制导策略97.6%的概率满足过程约束要求，而跟踪制导策略只有84.0%的概率满足过程约束要求。

图10进一步分析了风干扰对迎角和空速的影响。可以看出，风干扰的附加迎角Δαw可达4°，马赫数增量ΔMaa可达0.1，这也是存在较多不满足过程约束算例的主要原因。

图10 风干扰对迎角和空速的影响Fig.10 Impact of wind interference on angle of attack and airspeed

总的来说，相对于跟踪制导策略，本文制导策略具有抵抗拉偏能力强、鲁棒性好的特点。

3.4 可投放区

利用本文提出的ALCM下滑段多约束制导策略，进一步求解可投放区，得到的结果如图11和图12所示。

图11 低空点火可投放区Fig.11 Acceptable launching region of low altitude

图12 高空点火可投放区Fig.12 Acceptable launching region of high altitude

由图可知:可投放区的下界由点火空速决定，可投放区的上界在低空点火时由飞行时间约束决定，高空点火时由飞行时间及临界马赫数约束共同决定;拉偏会减小可投放区，并且高空点火的影响要大于低空点火;高速投放比低速投放具有更宽的允许投放高度范围。

4 结束语

本文提出了一种ALCM下滑段多约束制导策略。在空速不可测的情况下，提出通过风廓线和地速估算空速的方法，能够有效降低风干扰带来的终端空速散布，从而满足ALCM点火窗口要求。将临界马赫数约束、迎角约束和过载约束转化为法向加速度边界，实现了对过程约束的闭环考虑。获得了下滑段最优法向加速度，能够同时满足终端高度、弹道倾角、地速和迎角约束。仿真验证表明，该制导策略获得的结果与打靶法优化结果类似。在气动力拉偏、大气密度拉偏和风干扰的情况下，与传统的PID跟踪法相比，具有更高的制导精度和更好的鲁棒性。利用该制导策略，给出了ALCM的可投放区，并分析了拉偏对可投放区的影响，为实际应用提供了理论依据。

［1］ Tsikalas G M.Space shuttle auto land design［R］.AIAA-82-1604，1982.

［2］ Barton G H，Tragesser SG.Auto landing trajectory design for the X-34［R］.AIAA-99-4161，1999.

［3］ 彭绍雄，周卿吉.空舰导弹弹道优化算法［J］.战术导弹技术，1990(1):19-26.

［4］ 杨剑影，谢邦荣，尹健.中程空地导弹下滑弹道的设计方法探究 ［J］.弹箭与制导学报，2003，23(3):50-52.

［5］ 周浩，周韬，陈万春.高超声速滑翔飞行器引入段弹道优化 ［J］.宇航学报，2006，27(5):970-973.

［6］ 周国锋，王朝志，陈万春.机动弹头引入段弹道优化设计［J］.战术导弹技术，2008(5):20-23.

［7］ Miyazawa Y，Motoda T，Izumi T，et al.Longitudinal landing control law for an autonomous reentry vehicle［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1999，22(6):792-800.

［8］ 刘玮，宋科璞.飞行器无动力下滑技术研究［J］.计算机仿真，2013，30(8):65-69.

［9］ 李雪松，李颖晖，徐浩军，等.基于直接反馈线性化的飞行器着陆控制设计［J］.飞行力学，2010，28(4):42-45.

［10］ Schierman J D，Hull J R，Ward D G.Adaptive guidance with trajectory reshaping for reusable launch vehicles［R］.AIAA-2002-4458，2002.

［11］ Ohlmeyer E J，Philips C A.Generalized vector explicit guidance［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29(2):261-268.

［12］ Xing Qiang，Chen Wanchun.Segmented optimal guidance with constraints on terminal angle of attack and impact angle［R］.AIAA-2012-0257，2012.

［13］ Lee Y I，Kim SH，Lee J I.Analytic solutions of generalized impact-angle-control guidance law for first-order lag system ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36(1):96-112.

［14］赵汉元，陈克俊.再入机动弹头的速度控制［J］.国防科技大学学报，1993，15(2):11-17.

［15］肖业伦，金长江.大气扰动中的飞行原理［M］.北京:国防工业出版社，1993:11-18.

［16］ Oznur Usanmaz，Enis T T.Wind effect analysis on instrument flight procedures using a Turkish wind model［J］.Journal of Aircraft，2012，39(6):2023-2032.

［17］张松兰，刘晓利.风场建模与弹道仿真［J］.弹箭与制导学报，2006，26(1):550-552.

［18］ Mease K D，Chen D T，Schönenberger H.Reduced order entry trajectory planning for acceleration guidance［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2002，25(2):257-266.