多元函数最值问题的常见处理策略

舒巨

最值问题是中学数学中永恒的话题，也是历年高考的热门考点.由于高中教材上没有明确系统地研究这类问题，使得求多元函数（即多变量函数）的最值成为高考中的难点问题.解决这类问题需要具有较强的技巧，且方法灵活性多变，本文主要通过线性规划、均值不等式法、减少变量、分类集中变量等策略进行处理.

策略一：利用线性规划

例1若变量x、y满足约束条件y≤xx+y≤1y≤-1，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=.

解法探究：本题是一道典型的线性规划问题（二元变量问题），通过画出可行域，很容易得到，当直线z=2x+y经过点（2，-1）时，M=3，当直线z=2x+y经过点（-1，-1）时，m=-3，故M-m=6.

教材上线性规划的本质就是研究受不等式组条件约束的二元函数的最值问题。由于题目呈现形式的多样性，往往需要对题设进行适当的转化，若能将题设化为不等式组得到可行域，大多利用此策略求解.

策略二：利用均值不等式

例2 在△ABC中，∠A=，a=3， 则△ABC的面积的最大值为 .

利用均值不等式求最值问题的要点是“和定积最大，积定和最小”，即当题目是已知和（积）的形式，求积（和）的最值的形式时，往往可以联想到使用均值不等式等等进行求解.

策略三：减少变元

例3 设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则的最小值是 .

转化的一个原则是将未知转化为已知，例题主要是有x-2y+3z=0，这三个变量之间的关系，实现了由三元变量转化为二元变量进行研究.

策略四：分类集中变量

例4设数列{an}前n项和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（1）设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式.（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围.

在多变量问题中，可以将变量分类集中，做法就是将题中一个字母用另一个字母进行表示，这样就变成了熟悉一元函数的问题.高考压轴题中很多的最值问题都可以采用此想法来解决.

不等式（基本不等式及变式、柯西不等式等）、线性规划及相关知识、减少变量、分类集中变量是解决高中数学多变量最值问题的常见策略，更多时候往往综合灵活运用上述策略以顺利求解.

责任编辑罗峰