求异面直线距离的几种方法

华腾飞

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.

一、平移法

解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.

解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.

设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.

设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.

由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.

故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）

二、线面垂直法

解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.

例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.

解析∵B1D1⊥A1C1， B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.

过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.

∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，

∴O1E=A1O1·CC1A1C=22a·a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.

三、面面平行法

解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.

例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.

解析如图3，G为AA1的中点.

∵GF∥A1D， GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.

∵A1D⊥AD1， A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.

同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.

故异面直线EF与DB1的距离为：

MN=14AD1=24a.

四、转化法

解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.

例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.

解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.

设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d·S△A1DC1=13a·S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a·a2232a2=33a.

五、公式法

解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.

公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB·CDsinθ.

图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.

以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.

例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.

解法1运用公式1来求.

设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a·12a2=16a3.

d=6VP-ABCAC·BPsinθ=6×a36

2a·5a2·31010=23a.

即AC与PB之间的距离为23a.

解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.

设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.

练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′ AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.

（收稿日期：2015-07-09）