从一道例题谈解析几何中的定值问题

吕翠华

摘要：“问题是数学的心脏”，这要求教师能够找到好的问题，激发学生的探究意识，引起学生认知上的冲突，不断地从一个问题引申到另一个问题。以“少教多学”的理念为指导，以一个例题为切入点，解析几何中定值问题的处理方法和思路，得到了处理该类问题的一般性方法。

关键词：解析几何;定值问题;少教多学

中图分类号：G632     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）43-0260-02

一、引言

定值问题是中学数学问题中最普遍、最重要的題型之一，其表现形式与解决方法千变万化。定值问题覆盖面广、综合性较强，渗透了化归，数形结合等数学思想，因此成为近几年高考的热点问题之一。以“少教多学”的理念为指导，本文从一个例题谈起，引出了解析几何中的定值问题，探究在定值问题上的处理思路和方法，为学生分析、解决该类问题提供一定的借鉴和指导。基于本人南京市基础教育教师示范课——解析几何中的定值问题整理而成的。下面摘录其中的一些教学过程片段。

二、教学片断

问题（一）：已知过抛物线C：y=  x  的焦点F的直线交抛物线于A（x  ，y  ），B（x  ，y  ）两点，求证：x  x  为定值。

注：三分钟后同学们开始交流思路。

S1：通过分析已知条件，过焦点F（0，1）的直线l的方程可以设为y=kx+1。由于直线l交抛物线于两点A，B，故A，B两点的坐标满足y=kx+1y=  x  。由题目中所求的结果“x  x  ”，联想到韦达定理。

T：非常好！你抓住了最终的求解目标！可是如果题目不是求x  x  ， 而是求2x  +x  怎么办呢？

S2：只要把上述方程组解出来就可以了！

T：下面请这两位同学分别用刚才的分析思路给出该题目的完整过程。

S1：（解法一）设直线方程为y=kx+1，因为直线l交抛物线两点，所以y=kx+1y=  x

故，x  -4kx-4=0，由韦达定理得：x  x  =-4。

S2：（解法二）由x  -4kx-4=0解得x1=2k+2  ，x2=2k-2  ，故x  x  =-4。

T：其他的同学让我们继续思考！分析刚才这两位同学的做法：通过认真审题，从题目中所给的两个条件中捕捉到了他们想要的信息顺利解决了这个问题。已知条件是我们解决问题的前提，下面我们一起把题目重新解读一遍，看能否尝试着从另外一个角度解决这个问题。比如：上述同学看到题目已知条件中的“过”就能想到写出直线的方程，看到“交”就能想到联立方程组，他们直接把“几何问题代数化”，即从“数”的角度解决了这个问题——体现了数形结合的思想。

T：从“过抛物线C：y=  x  焦点F的直线”，能得到哪些信息？

S：点在直线上。

T：从“直线交抛物线于A，B两点”，能得到信息？

S：A，B两点既在直线上，又在抛物线上。

T：综合上述两条我们是否可以得到A，F，B三点共线？有哪些方法可以刻画“三点共线”？

S3：斜率相等，即：k  =k  。

S4：向量共线，即：  与  共线。

S5：线段相等，即：AB=AF+BF。

S6：还可以设出AB的直线方程，然后代入F的坐标。

T：好的，我们暂时交流到这里，接下来请选择一种你最喜欢的方法把这个问题解出来。（同时找学生板演）

S3：（解法三）由A，F，B三点共线可得

k  =k  ，即：  =

又因为y  =  x    ，y  =  x    ，所以  =

整理化简得（x  -x  ）（x  x  +4）=0，

有x  ≠x  知，x  x  =-4。

S4：（解法四）因为A、F、B三点共线，所以  //  。

又  =（x  ，y  -1），  =（x  ，y  -1），

∴x  （y  -1）=x  （y  -1）。

下面的步骤与解法三相同，限于篇幅，在此省略。

S5：（解法五）由A，F，B三点共线，可得AB=AF+BF，即

=

+

根据抛物线的第二定义得，

=（y  +1）+（y  +1）

整理化简上式得：

x    -2x  x  +x    =4y  y  +4y  +4y  +4，将y  =  x    ，y  =  x    ，代入上式得（x  x  ）  +8x  x  +16=0，所以x  x  =-4。

S6：（解法六） 直线AB的方程为y-y  =  （x-

x  ），点F（0，1）在直线AB上，即1-y  =  （0-x  ）.

将y  =  x    ，y  =  x    ，代入得1-  x    =  （x  +x  ），即x  x  =-4。

T：上面的4位同学已经完成，下面看能否想个办法来快速的检验结果的正确性？

S：代特殊值。

T：嗯，很好！最后让我们回顾一下，刚才我们解决了一个什么样的问题？

S：定值问题。

T：同学们通过感受刚才解决这个问题的过程，你都有哪些收获？

同学们窃窃私语，认真讨论……

T：最后将学生合作交流的收获总结如下：

1.解题思路：解题时首先要看清题目中的已知条件，明确每一个已知条件的含义，并会适当的进行转化;即：明确“有什么”，要提高目标意识，了解要“干什么”，最后结合着“有什么”和“干什么”来制定出解决问题的方案，確定“怎么干”，这是我们处理一般性问题的法宝！

2.知识层面：（1）要想得到圆锥曲线的某些基本量，一定先将方程整理成标准形式才可以。（2）“交点”的代数意义——方程组的解，进一步转化为“x  ，x  是消去y后的关于x的一元二次方程的解”。（3）处理A，F，B三点共线的方法。（4）x  x  是定值，说明在某个运动变化中是不变的，此时要关注是什么在变？比如是斜率在变，只要说明x  x  与斜率无关。

T：剩下的时间，我来考考同学们是否真正掌握了本节课的内容，请大家自己编个题试试。

同学们都跃跃欲试，编写了题目，并给出了解法，限于篇幅，此处省略。

老师根据刚才的题目，也编了一个例题。

问题（二）：变式练习：

已知抛物线C：y=  x  上有A（x  ，y  ），B（x  ，y  ）两点，满足x  x  =-4。求证：经过A，B的直线与y轴交于定点。分析：

T：“看到这个问题你是怎么想的？”——我们研究的对象是谁？

S：与y轴的交点，即纵截距。

T：所以若要说明它是一个定值，首先应该把这个量先表示出来，然后再证明即可。

S7：（解法一） 设定点为P（0，b），则  =（x  ，y  -b）与  =（x  ，y  -b）共线

即：x  （y  -b）=x  （y  -b），然后将

y  =  ，y  =  代入，化简即得b=1.

S8：（解法二） 设直线AB的方程为：y-  =  （x-x  ），令x=0，得：y=-  =1.

S9：（解法三） 设直线方程为y=kx+b由方程组x  =4yy=kx+b，得：x  -4kx-4b=0.

由韦达定理可得：x  x  =-4b，故b=1。

T：通过比较这两个问题，发现只有当直线经过焦点（0，1）时，x  x  =-4，难道直线经过其他点的时候x  x  的值就不是-4了吗？如果把直线经过焦点（0，1）改为过（0，2），的值还会是定值吗？如果不是定值那应该是多少呢？请同学们课下认真思考，看看你会得到什么样的结果。

课堂总结，布置作业（略）。

三、教学后记

本次公开课，从一个典型例题出发，研究了解析几何中的定值问题，通过教师步步设问，充分挖掘题目的条件，激发了学生发散性思维，拓宽了解题思路。得到了处理一般性问题的法宝，即：明确“有什么”，要提高目标意识，了解要“干什么”，最后结合着“有什么”和“干什么”来制定出解题方案，即确定“怎么干”。

参考文献：

[1]章建跃，陶伟林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报，2009，48（6）.

[2]刘行功.圆锥曲线中的定值问题[J].数学通报，1994，（8）.

[3]李昭平.处理解析几何中定值问题的几种策略[J].中学数学教学，2003，（6）.