罗 强, 李成岳, 孙 鹏
(1.中央民族大学理学院, 北京100081; 2. 北京师范大学良乡附属中学, 北京102488)
关于二阶导数的若干新积分不等式
罗强1,李成岳1,孙鹏2
(1.中央民族大学理学院, 北京100081;2. 北京师范大学良乡附属中学, 北京102488)
[摘要]根据Cauchy-Schwarz不等式,得到了C2([a,b])空间中函数的二阶导数的若干新积分不等式.
[关键词]Cauchy-Schwarz不等式;Hölder不等式;积分不等式
1引言
在文献[1]和[3]中, 下列著名问题:
设f(x)∈C2([a,b])满足边界条件f(a)=f(b)=0,f′(a)=1,f″(b)=0, 求证:
(*)
得到了讨论. 文献[2]利用Cauchy-Schwarz不等式, 对这个问题给出了一个解答. 受[1]-[3]的启发, 我们在Cauchy-Schwarz不等式的基础上, 建立了一系列关于二阶导数的新的积分不等式, 进一步又把这个结果推广到关于任意阶导数的积分不等式. 另外, 我们还利用同样的技巧和Hölder不等式建立了关于二阶导数的任意次幂函数的积分不等式.
2关于|f″(x)|2的一般形式的积分不等式
文献[2]对上述问题(*)给出了如下证明.
证对f,g∈C2([a,b]), g″≠0时, 由Cauchy-Schwarz不等式得到
(1)
取g(x)=(x-a)(x-b)2, 则
g(a)=g(b)=0,g′(a)=(b-a)2,g′(b)=0,
g″(x)=2[3x-(a+2b)].
(2)
计算得
(3)
由(2)得
=4(b-a).
(4)
联合(1),(3),(4)得到
[4(b-a)]2≤4(b-a)3|f(x)3|2dx,
分析这个证明过程, 考虑选取另外的辅助函数g(x), 则也可建立一系列新的积分不等式:
(i) 取g(x)=(x-a)2(x-b), 则有
g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,
g″(x)=2[3x-(b+2a)].
(5)
(6)
=2(2b-2a)f′(b)-2(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a))
=2(b-a)(2f′(b)+f′(a))-6(f(b)-f(a)).
(7)
于是由(1),(6),(7)得到下列不等式
(ii) 取g(x)=(x-a)3, 则
g(a)=0,g(b)=(b-a)3,g′(a)=0,g′(b)=3(b-a)2,
g″(x)=6(x-a).
(8)
由(8)计算得
(9)
=6(b-a)f′(b)-6(f(b)-f(a)).
(10)
由(1),(9),(10)得到下列不等式
(iii) 取g(x)=(x-b)3,
g(a)=(a-b)3,g(b)=0,g′(a)=3(a-b)2,g′(b)=0,g″(x)=6(x-b).
(11)
由(11)计算得
=-12(a-b)3=12(b-a)3,
(12)
=6(b-a)f′(a)-6(f(b)-f(a)).
(13)
由(1),(12),(13)得到下列不等式
3关于|f(m)(x)|2的若干积分不等式(m≥1)
当f,g∈C(m)([a,b])时, 根据Cauchy-Schwarz不等式, 有
(14)
以m=3为例, 此时若取g(x)为不同的4次多项式, 则也可以建立一系列不等式. 如
取g(x)=(x-a)(x-b)3, 则
g′(x)=(x-b)3+3(x-a)(x-b)2,
g″(x)=6(x-b)2+6(x-a)(x-b),
g‴(x)=6(4x-3b-a),
g(4)(x)=24.
(15)
(16)
再计算
=6(b-a)f″(b)+18(b-a)-24(f′(b)-f′(a)).
(17)
根据(14),(16),(17)整理得
另外, 考虑m=1这个最简单的情形.根据Cauchy-Schwarz不等式, 有
(18)
取g(x)=(x-a)(x-b), 则
g′(x)=2x-b-a,
(19)
(20)
再计算
(21)
由(18),(20),(21)得
特别地,若f(a)=f(b)=0, 则有
4关于|f″(x)|p的积分不等式(p>1)
(22)
g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,g″(x)=2[3x-(a+2b)],
令c=a+2b,有
g″(x)=2(3x-c).
(23)
(24)
把c=a+2b带入, 根据(24)计算得
=2(b-a)f′(b)-4(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a)).
(25)
由(22),(24),(25)整理得
则
[参考文献]
[1]张恭庆.泛函分析讲义(上册)[M].北京:北京大学出版社,1987.
[2]林源渠.泛函分析指南(上册)[M].北京:北京大学出版社,2009.
[3]刘玉莲,傅沛仁,林玎,范德馨,刘宁.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社, 2008.
SomeNewIntegralInequalitiesfortheSecondDerivative
LUO Qiang1,LI Cheng-yue1,SUN Peng2
(1.CollegeofScience,MinzuUniversityofChina,Beijing100081,China;
2.LiangXiangHighSchoolAffiliatedToBeijingNormalUniversity,Beijing102488,China)
Abstract:BytheCauchy-Schwarzinequality,theauthorsgetsomenewintegralinequalitiesforthesecondderivativeofthefunctioninspaceC2[a,b].
Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Holderinequality;integralinequality
[基金项目]浙江省自然科学基金(LQ13A010018);国家自然科学基金(11401530)
[收稿日期]2014-12-31
[中图分类号]O178
[文献标识码]A
[文章编号]1672-1454(2015)04-0055-05