一类非齐次树上关于马氏链场滑动平均的强偏差定理

金少华，　赵　旋，　陈秀引，　贺雅萍

(河北工业大学理学院，天津300401)

一类非齐次树上关于马氏链场滑动平均的强偏差定理

金少华，赵旋，陈秀引，贺雅萍

(河北工业大学理学院，天津300401)

[摘要]树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.本文利用Borel-Cantelli引理研究给出了一类非齐次树上马氏链场关于负二项分布滑动平均的强偏差定理.

[关键词]非齐次树； 负二项分布； 马氏链； 强偏差定理

1前言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.文献[1]研究给出了m根Cayley 树指标 m阶有限状态非齐次Markov 链的一些极限性质. 文献[2] 研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理.本文利用Borel-Cantelli引理研究给出了一类非齐次树上马氏链场关于负二项分布滑动平均的强偏差定理.

2定义

设T是一个具有根顶点o的无限树，{Nn,n≥1}是一列正整数集，如果第n(n≥0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，则称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地，若对非负整数集N，用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类

(0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

(1)={1,m+1,2m+2,3m+1,…,nm+1,…},

………………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

当n∈(i)时，令Nn+1=αi(αi均为正整数且不同时为1)，i=0,1,2,…,m-1， 就得到了一类特殊的非齐次树Tα0,α1,…,αm-1.

以下恒以T表示树Tα0,α1,…,αm-1，以Ln表示第n(n≥0)层上所有顶点的子图，Tn表示含有从o顶点到第n层上所有顶点的子图.S(t)表示顶点t的所有子代的子图.

定义2.1设{Ω,F,P}为一概率空间，{Xσ,σ∈T}是定义在该概率空间并于S={0,1,2,…}上取值的随机变量族，设

P0={p0(x),x∈S}

(1)

是S上一概率分布，而

Pn=(pn(y|x)),x,y∈S,n≥0

(2)

∀x,y,x1,x2,…,xn∈S.

(3)

并且

P0(X0,1=x)=p0(x),∀x∈S，

(4)

则称{Xσ,σ∈T}为具有初始分布(1)与随机矩阵列(2)的在S上取值的树指标非齐次马氏链.

上述定义的树T上的非齐次马尔可夫链{Xσ,σ∈T}的联合分布为

(5)

设Q为可测空间(Ω,F)上的另一概率测度，{Xσ,σ∈T}在测度Q下的联合分布为

(6)

即{Xσ,σ∈T}在测度Q下相互独立，且服从

的负二项分布，其中xξk∈S,pξk+qξk=1,ξk∈Lk.

定义2.2设0≤a1≤a2≤…是一整值数列，随机变量族{Xσ,σ∈T}在测度P，Q下的联合分布分别由(5)式与(6)式定义

(7)

φn(ω)=lnLn(ω)，

(8)

(9)

3主要结果及其证明

引理 3.1设{Xσ,σ∈T}是定义在(Ω,F)上的在S={0,1,2,…}上取值的随机变量族，P和Q为定义在F上的两个不同的概率测度，记

P(XTn=xTn)=P(xTn),Q(XTn=xTn)=Q(xTn),

(10)

则

(11)

故有Ep(Zn)≤1成立.

对∀ε>0，根据马尔科夫不等式，有

P(|Tn|-1lnZn≥ε)=P(Zn≥e|Tn|ε)≤e-|Tn|ε，

由上式，有

(12)

根据Borel-Cantelli引理，由(12)式及ε的任意性，便得(11)式成立.

定理3.1设{Xσ,σ∈T}为具有初始分布(1)与转移矩阵列(2)的在S上取值的树指标非齐次马尔可夫链，它在F的另一概率测度Q下的联合分布由(6)式定义，Ln(ω)及φn(ω)分别由(7)式与(8)式所定义，{al,l≥1}如前定义.令α=inf{qσ,σ∈T}>0,设存在M>0，使得

(13)

设0≤c≤1为一常数，令

H(c)={ω:M(P‖Q)(ω)≤c}，

(14)

则

(15)

(16)

(17)

因为

和p(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n)分别为{Xσ,σ∈T}的参考分布和真实分布，由引理3.1知，存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1,使得

(18)

由(17)式和(18)式，有

(19)

由(14)式和(19)式，有

(20)

(21)

根据上极限的性质

(22)

于是此时有

(23)

由(22)式和(23)式，有

(24)

由于

故由(25)式知(15)式成立.

(26)

因为P(A*)=1，故由(26)式知，当c=0时(15)式成立.

取λ∈(0,1),将(20)式两边同时除以lnλ，有

(27)

根据下极限的性质

(28)

(29)

类似(26)式的证明，知当c=0时,(16)式也成立.

[参考文献]

[1]Shi Z Y, Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree[J]. Statist Probab Lett, 2010, 80(15): 1223-1233.

[2]Yang W G.. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree[J]. Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

A Strong Deviation Theorem for the Moving Averages of Markov Chain Fields on a Non-homogenous Tree

JINShao-hua,ZHAOXuan,CHENXiu-yin,HEYa-ping

(College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401，China)

Abstract:In recent years, tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper, by means of Borel-Cantelli lemma, a strong deviation theorem for the moving averages of Markov chain fields on a non-homogenous tree is given.

Key words:non-homogeneous tree; negative binomial distribution; Markov chain; strong deviation theorem

[中图分类号]O177.91

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)04-0025-05