疲劳寿命分散系数的确定与应用研究

杨 俊，王 建，祁圣英

疲劳寿命分散系数的确定与应用研究

杨 俊，王 建，祁圣英

（空军西安局某军事代表室，西安710021）

疲劳寿命分散系数是评估飞机结构疲劳寿命与航空发动机轮盘寿命试验的重要技术参数之一。阐述了国内外疲劳寿命分散系数研究的成果，针对工程中实际寿命分布问题中最常见的对数正态分布和威布尔分布的形式，给出了基于试验样本最差、中值、最好及第k试验寿命的分散系数表达式；重点分析总结对数正态分布标准差和威布尔分布中形状参数的选取，同应力多危险部位分散系数研究及其随应力的变化规律；通过2个例子分析了疲劳分散系数在轮盘低循环疲劳寿命工程计算中的应用，认为疲劳寿命分散系数应在不同温度和应变比，对数正态分布标准差，同应力多危险部位，3参数的威布尔分布，工程化应用等方面开展进一步研究。

疲劳寿命；分散系数；对数正态分布；威布尔分布；轮盘；航空发动机；飞机

0 引言

疲劳寿命分散系数研究起源于飞机结构疲劳寿命，根据飞机结构失效的分布规律和中值寿命定义，借助于概率推导出可靠度和分散系数之间的函数表达式[1]。而近些年来，基于小子样数据的分散系数法成为航空发动机轮盘寿命试验评估主要方法之一[2-3]。多年来针对疲劳寿命分散系数进行了大量研究[1-4]，使得构件寿命分散系数可靠性评估法逐渐形成体系，并制定了各自的规范。在疲劳寿命分散系数研究中主要针对服从对数正态分布[3,5]和威布尔分布的分散系数[6]。目前除了对数正态分布标准差的选择[7]及威布尔分布形状参数[8]的选择外，重点集中在同应力多危险部位的分散系数研究[9]及其随应力或应变的变化规律[10]。

本文研究分析了疲劳寿命分散系数在飞机结构疲劳寿命和航空发动机轮盘寿命的应用评估；并且确定了轮盘疲劳安全循环寿命。

1 疲劳寿命分散系数定义

文献[1]将疲劳寿命分散系数定义为中值寿命N50与 Np,γ的比值

式中：N50为疲劳寿命随机变量的总体均值，为理论值；Np,γ为在一定可靠度p和置信度γ下的寿命估计值。

式（1）显示的是理论分散系数。而试验寿命分散系数

式中：[N50]t为中值试验寿命。

2 疲劳寿命分散系数在飞机结构疲劳寿命评估中的应用

很多国家都对疲劳寿命分散系数进行研究，并提出基于对数正态分布的疲劳寿命分散系数的计算公式。

美国计算的分散系数

澳大利亚和英国计算的分散系数

式中：p为给定可靠度；γ为给定置信度；μp和μγ分别为可靠度与置信度标准正态偏量系数；σ0为已知标准差；n为试验次数。

式（3）没有考虑试验件数对分散系数的影响，因此不适宜处理疲劳试验结果。也没考虑置信度的问题，即没有考虑用少数子样的试验结果代替母体真值的影响。式（4）虽然考虑了试验件数对分散系数的影响，但没有考虑置信度的问题，同样没有考虑用少数子样的试验结果代替母体真值的影响。中国也对疲劳寿命分散系数做了大量研究，高镇同院士和傅惠民教授等假设“对数疲劳寿命遵循正态分布”，推导了基于中值试验寿命的分散系数计算公式[1]，给出了材料疲劳试验统计分析方法，并行成中国的行业标准；张福泽院士[4]在此基础上对分散系数的分类和取值作了详细论述，并对一些国家的分散系数取值差别和计算公式进行评述。

式（5）同时考虑可靠度、置信度和试验次数对分散系数的影响，处理疲劳试验结果比较合理和完善。近些年，贺小帆、刘文廷[9]等给出了服从威布尔分布和基于中值试验寿命的分散系数计算公式，并与服从对数正态分布条件下得到的分散系数进行了比较，为疲劳寿命服从双参数威布尔分布的民机结构确定分散系数提供技术依据；陆山、杨剑秋[11]推导出了服从对数正态分布的基于小子样最差和最好试验结果的寿命分散系数法；王卫国[3]研究了服从威布尔分布的小子样疲劳寿命分散系数；卢小艳[8]研究了服从威布尔分布和对数正态分布，基于任意第k试验疲劳寿命分散系数的计算公式，为试验评估构件概率寿命提供了研究方法和理论依据。

3 疲劳寿命分散系数在航空发动机轮盘寿命评估中的应用

轮盘（压气机盘或涡轮盘）是航空发动机关键件，其寿命可靠性要求高，常常是制约整个发动机寿命的瓶颈。目前，轮盘寿命可靠性评定采用数值模拟法和试验评估法2大类方法。试验评估法通过零部件在适当的载荷谱下的低循环疲劳试验，再选择一定可靠度和置信度下的分散系数来获得轮盘的概率寿命，即常用的技术寿命。与飞机结构疲劳寿命相比，航空发动机轮盘寿命评估常采用最差或最好试验寿命与可靠寿命之比的寿命分散系数。

英国国防标准00-971指出，航空发动机轮盘在工程上采用的寿命分布形式主要有对数正态分布和威布尔分布，并给出寿命符合对数正态分布，可靠度p=99.87%、置信度γ=95%时，基于小子样最差、最好或中值试验寿命的分散系数，但仅限于寿命Nmax/Nmin=6，即对数寿命方差σ=0.13的特殊情形。美国在JSGC-87231A中给出服从双参数威布尔分布的分散系数典型值。但2条文献中均未给出详细的计算公式。目前中国航空发动机零部件的实际寿命散度可能与上述2条文献条件有差别，因此，许多情况下不能直接引用2条文献中的寿命分散系数。下面列举了一些中国专家研究的成果。

3.1 基于对数正态分布的分散系数

3.1.1 基于对数正态分布分散系数公式确定

文献[5]列出服从对数正态分布的基于中值寿命的散度系数计算公式，并推导了基于最差和最好试验寿命的分散系数计算公式。

（1）基于子样中位寿命N50的分散系数计算见式（5）。

（2）基于子样最差寿命N(1)的分散系数

（3）基于子样最好寿命N(n)的分散系数

结果表明，中值寿命及最差试件的试验寿命的寿命分散系数与英国国防标准00-971相应结果吻合较好，但最好试件试验寿命分散系数随子样数增加而增大，见表1。文献[3]基于最大试验寿命的分散系数应随试件数的增加而单调增大，表1给出的寿命分散系数值更加合理。

表1 服从对数正态分布的发动机轮盘裂纹形成寿命分散系数γ=95%，p=99.87%，σ0=0.13

文献[5]推导了寿命服从对数正态分布，假设可靠度p=99.87%、置信度γ=95%，对数寿命标准差σ0=0.13。基于n个子样中任意第k次试验寿命的分散系数。

（4）基于第k试验寿命N(k)的分散系数

式中：F(μ)是母体的概率分布函数，子样第k次序统计量的概率分布F（k）（μ）可用该函数表示。具体推导过程见文献[5]。

通过式（8）可得任意给定置信度、可靠度和子样数n的基于任意第k试验寿命的分散系数。当k=1或者k=n时，式（8）分别为零故障和完全故障试验寿命分散系数计算公式。

3.1.2 基于对数正态分布分散系数标准差的确定

对于对数正态分布最为重要的是确定母体对数寿命标准差。可由以下几种方法确定：

（1）根据大量的真盘试验值确定。

（2）根据试样低循环疲劳性能数据统计确定[7]。

（3）数值模拟方法获得构件危险部位寿命N0.13、N99.87，对数正态分布母体标准差为 σ0=（log（N0.13/N99.97））/6。

方法（1）最为直接，而且最接近母体真实方差。但由于轮盘造价昂贵，试验成本高，只能采用极小子样寿命试验，很难获得大量真盘寿命试验数据；方法（2）成本不高，但随着样本数量的不同，标准差估计值相差较大；方法（3）采用蒙特卡罗法或面响应面法拟合出轮盘考核点寿命概率密度曲线，通过概率密度曲线得到母体标准差[12-13]。数值模拟为理论计算，与实际试验值有误差。该方法主要用于轮盘可靠性数值模拟分析，在试验评估中一般不采用。

对于标准差的选择，各国有较大差别，见表2。在飞机方面，美国取0.2，澳大利亚、英国和中国取0.176，日本取0.154。中国在飞机结构寿命的可靠性估算中采用文献[7]中给出的计算公式及各类安全标准差值。而在发动机轮盘方面，英国通过大量的真盘试验和长期的经验取0.13，中国目前也参照该值计算。

表2 各国服从对数正态分布裂纹形成寿命分散系数（飞机结构可靠性）

3.2 基于威布尔分布的分散系数

威布尔分布是疲劳强度研究中的1种常用分布。其最大优点是存在最小安全寿命，即100%存活率的安全寿命。而正态分布安全寿命为0时，存活率才能等于100%。所以威布尔分布更符合工程实际，其分布函数为

式中：α为形状参数，一般α＞1；β为特征寿命；N0为最小寿命，也称位置参数。当N0＞0时，称为3参数威布尔分布；当N0=0时，称为双参数威布尔分布。目前研究较多的是基于双参数威布尔分布的分散系数，而基于3参数威布尔分布的分散系数，由于影响分散系数的参数较多，而且影响程度不同，研究得较少。

3.2.1 基于双参数威布尔分布的分散系数

美国《航空涡喷涡扇涡轴涡桨发动机通用规范》(JSGS-87231A)假设疲劳寿命服从双参数威布尔分布，给出了1个确定涡轮盘试验时间的简单算例。文献[9]假设疲劳寿命服从双参数威布尔分布，给出了利用小子样基于中值、最差和最好寿命分散系数试验寿命的分散系数计算公式，并应用该公式评估了某风扇轮盘的安全寿命。

基于最差、中值和最好寿命的分散系数分别为

从式(11)中可见，基于中值寿命的分散系数是理论值，与试验次数无关。而考虑置信度后，基于中值寿命的分散系数为

式中：Na为根据试件的疲劳试验值由极大似然法估计得到的特征寿命的估计值；Nγ为Na的单侧置信下限。

基于第k试验寿命N(k)的分散系数公式为

式中：yγ为任意第k次序统计量的分布函数在子样数n、故障数k-1、以及在双参数威布尔分布和模型参数已知的情况下在0-1区间的根。

在已知置信度、破坏数、可靠度、试验截止时间及部件数的情况下，该方法可确定可靠寿命，还可反推产品试件数或者破坏数。

表3 服从威布尔分布的裂纹形成寿命分散系数（γ=95%，p=99.87%）

3.2.2 基于双参数威布尔分布形状参数的确定

根据表3和文献[3]，对比不同形状参数的分散系数可知：服从双参数威布尔分布的小子样疲劳寿命分散系数对形状参数α的变化比较敏感。对服从威布尔分布寿命分散系数的研究主要是对分布参数α进行估计。α与分散性有关，α越小分散性越大，反之亦然。目前国内使用的疲劳分布参数α主要是由《实用飞机结构设计手册》给出的估计值：α=4，适用于铝结构（所有合金）；α=3，适用于钛合金和热处理σb≤1700 MPa 的钢；α=2.2，适用于热处理 σb＞1700 MPa的钢。

周希沅在文献[8]中根据国产材料及小结构件的疲劳试验数据，估计出威布尔分布的形状参数α，并与美国材料α进行比较，认为国产材料的α和疲劳寿命的分散性均与美国材料的相当。但仍然推荐使用《实用飞机结构设计手册》中的α值。而对用于航空发动机高温合金的α值，还没有相关的研究，通常值介于3～4之间[12]，在美国JSGS-87231A中α取3。

3.3 同应力多危险部位分散系数

航空发动机轮盘低循环疲劳危险部位一般是多个，而且具有相同的结构、应力和温度。危险部位数目对低循环疲劳寿命影响属于尺寸效应的研究范畴。文献[3]将多危险部位按照最弱环理论将其等效为1个可靠性串连系统。即认为n个危险部位中有任何1个部位出现疲劳失效，就认为轮盘发生失效。实际上有些片面，没有考虑各危险部位的相关性，估计出的轮盘寿命往往过于保守。而陆山教授[12]考虑了各危险部位的相关性，认为由于轮盘具有同样应力水平的危险部位通常有多个，并且各孔的寿命分散程度与母体寿命分散程度有差异，直接采用00－971提供的寿命分散系数进行试验寿命评估偏保守，提出采用区间估计分散系数法和均值分散系数法2种方法进行轮盘低循环疲劳寿命试验评估。目前，国内在这方面的研究还很有限。

3.4 疲劳寿命分散系数随应力的变化规律

很多研究是针对材料质量、制造工艺、试件几何尺寸、计算模型等方面对疲劳寿命分散系数的影响进行的。而张福泽院士[10]对载荷大小与疲劳寿命分散系数之间关系进行了研究，通过267个铝合金试件和139个钢合金试件的疲劳试验数据，绘出疲劳寿命分散系数Sf与试验最大应力σmax之间的关系曲线，并得出疲劳寿命分散系数随应力的提高而减小的规律。

对于轮盘来说，工作过程中某型局部区域已进入塑性变形状态，轮盘的寿命由该处的应变幅值决定，故而该处的应变幅值显得更为重要，研究应变幅值与散度系数的关系对于轮盘的技术寿命研究意义很大。

文献[10]都是针对飞机材料，如铝合金、钢合金等进行研究的，而航空发动机涡轮盘主要材料为高温合金，目前对其疲劳寿命分散系数研究较少。除了文献[5]给出的分散系数表，还可以通过盘材试件的低循环疲劳性能数据统计后得到。文献[14]就做过这方面的研究，通过不同温度、应变比或应力比的疲劳性能数据统计值确定出相应的疲劳寿命分散系数，最后采用某温度下缺口试样的子样标准差和真盘的标准差的均值来得到最终的标准差，进而得到分散系数。由于航空发动机轮盘在工作过程中所承受的温度、应力和应变都是不同的，故而一定要在相应的载荷状态下确定发动机轮盘的分散系数。

4 轮盘疲劳安全循环寿命的确定

4.1 第Ⅰ级高压涡轮盘低循环疲劳试验[14]

对某型发动机第Ⅰ级高压涡轮盘进行低循环疲劳试验，在轮盘多个销钉孔出现明显可见裂纹时结束。分别对3个试验盘进行疲劳寿命试验，其寿命循环数分别为 1＃：4670；2＃：3820；3＃：4350；平均寿命循环数为4280。从表1中得到寿命分散系数Y=3.25（可靠度p=99.87%、置信度γ=95%，对数寿命方差σ=0.13），计算得出安全循环寿命为1336个标准循环。第Ⅰ级高压涡轮盘试验件装配关系如图1所示；试验第I级高压涡轮盘在试验器上的安装方案如图2所示。

4.2 第Ⅱ级高压涡轮盘低循环疲劳试验[18]

对某型发动机第Ⅱ级高压涡轮盘进行低循环疲劳试验，由于涡轮盘的中心孔出现裂纹，扩展速率较快，可能导致盘破裂发生危险性故障，而传动臂销钉孔裂纹的影响可能不大（根据具体试验裂纹萌生寿命、扩展速率、方向确定）。所以，如果中心孔未出现裂纹时，传动臂销钉孔已出现裂纹，只要裂纹局限在传动臂安装边，未通过传动臂向轮盘本体扩展，则继续试验；若发现裂纹已通过传动臂向轮盘本体扩展，则终止试验。传动臂试验寿命按此时的循环数确定，最后得到该涡轮盘试验循环数为5000循环。第Ⅱ级涡轮盘试验装配关系如图3所示；试验第Ⅱ级高压涡轮盘在试验器上的安装方案如图4所示。

图1 第I级高压涡轮盘试验件装配关系

图2 试验第I级高压涡轮盘在试验器上的安装方案

根据表1的处理方法，当只有1个试验结果时，寿命散度系数为4。但考虑到销钉孔处应力较高，疲劳寿命分散度小，寿命分散系数取4不是很合理。传动臂销钉孔共有16个，按照销钉孔裂纹扩展到盘转接R处作为发生故障，符合基于正态分布任意第k个试验寿命次序来确定散度系数[14]，根据试验结果，有3个销钉孔裂纹扩展到盘转接R处。故而得到16个样本的第4个寿命次序量的散度系数为2.2972[5]（可靠度p=99.87%、置信度γ=95%，对数寿命方差σ=0.13），由该分散系数得到的预定安全循环数为第Ι级高压涡轮盘2531循环，第Ⅱ级高压涡轮盘2354循环。其他相关研究还可参见文献[16-17]。

图3 第Ⅱ级高压涡轮盘试验装配关系

图4 试验第Ⅱ级高压涡轮盘在试验器上的安装方案

5 展望

综上所述，根据国内外对疲劳寿命分散系数研究的进展，确定进一步的研究工作。

（1）对于航空发动机轮盘用高温合金，由于不同温度下和应变状态下疲劳分散性差别很大，应开展对其分散系数的研究。

（2）对于服从对数正态分布的分散系数研究，应不断积累高温合金的疲劳试验结果和真盘试验结果，经过统计得到符合中国实际情况的标准差σ0。

（3）由于航空发动机轮盘通常有多个具有相同的结构、应力和温度的部位，同应力多危险部位分散系数有待进一步研究。

（4）寿命服从3参数的威布尔分布的疲劳寿命分散系数研究较少，可做进一步研究。

（5）进一步开展疲劳分散系数的工程化应用研究。

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Determination and Application of Fatigue Scatter Factors

YANG Jun,WANG Jian,QI Sheng-ying
（A Military Representative Office,Airforce Xi'an Bureau,Xi'an 710021,China）

Fatigue life scatter factor is one of the key technical parameters for aircraft parts fatigue life and aeroengine disk life experimental assessment.The development of fatigue life scatter factors was reviewed.Aiming at the logarithm-normal distribution and the Weibull distribution commonly used in engineering,the theoretical formulas of the life scatter factor based on the worst,median and the best experimental lives were given.A particular focus was placed on the analysis of selecting of the standard deviation of logarithm-normal distribution and the shape parameters of Weibull distribution,and on the research of scatter factor of multi same-stress critical sites,the law of scatter factor versus test stress.Two examples illustrated the engineering application of life scatter factor determination in disk low cycle fatigue.The results show that the fatigue life scatter factor investigation in combine with the future research focus on the areas such as different temperature and strain,standard deviation of logarithm-normal distribution,multisame-stresscritical sites,three parameter Weibull distribution,and engineering application should be conducted.

fatigue life;scatter factor;logarithm-normal distribution;Weibull distribution；disk；aeroengine；aircraft

V231.91

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2015.01.003

2014-02-22

杨俊（1979），男，博士，研究方向为航空发动机强度、寿命和可靠性；E-mail：yangjunkgy_013@163.com。

杨俊，王建，祁圣英.疲劳寿命分散系数的确定与应用研究[J].航空发动机，2015，41（1）：16-21.YANGJun，WANGJian，QIShengying.Determination and application of fatiguelifescatter factors[J].Aeroengine，2015，41（1）：16-21.

（编辑：肖磊）