大型射电望远镜背架结构优化

刘 岩

（长安大学 建筑工程学院，陕西 西安710061）

0 引 言

随着结构优化设计、电算技术的发展，国内外学者曾提出若干关于望远镜结构设计的优化方法［1－3］。Hoerner提出了保型设计这一概念，后来陈树勋进一步提出了严格保型优化设计。这一方法在理论上可行，但据实际应用仍然有距离。其原因是：背架结构节点数 （N）过多，其约束条件数 （共3 N）会显著超过设计变量数 （通常以截面尺寸为变量），导致方程组无解。于是，Leve又提出采用准则法对望远镜结构进行优化设计，但该方法理论基础不是太牢固，迭代设计过程不够稳定，同时存在对不同问题需要推导不同的准则通式等缺陷，在一定程度上影响了其被广泛应用的进程。本文的研究对象——新疆110m 全可动射电望远镜背架结构形式较为复杂，即使同一位置的一圈杆件采用相同截面，仍然有上百个独立变量，且均为型材式的圆钢管，这一特征导致截面优化尤为困难。

由此可见，传统的优化算法随着反射面口径的不断扩大，在变量数目激增且均为离散型变量的情况下显得不再那么奏效，因此需要结合本文的研究对象寻求简便且能解决大规模变量数优化的高效算法。

1 背架结构优化分析方法

目前，遗传算法是一种通过模拟自然进化过程搜索问题最优解的方法。其主要特点是所采用的整体搜索策略和优化搜索方法在计算时不依赖于梯度信息或其它辅助信息，本身易于实现并行化以及更好的全局寻优能力，其标准算法的基本分析流程如图1所示。

图1 标准遗传算法分析流程

具体针对新疆即将建造的110 m 巨型全可动射电望远镜，选取角锥系背架结构方案进行优化计算，给出背架结构杆件布置如图2所示。

图2 背架结构

整个背架结构上弦共1056个节点，8654根杆件。同一环杆件定义为一个截面变量，这样对一榀单元给予变量标定，共有120个变量。以反射面面型精度最高 （即RMS值最小）为目标，对背架结构截面进行优化，其优化数学模型如下

其中，式 （1）代表将截面尺寸作为自变量，式 （2）表示约束条件，在具体优化程序中体现为拉弯构件按照强度、压弯构件按照稳定分别进行验算并对自变量的选取予以约束，式 （3）体现了背架结构杆件截面作为圆钢管型材，其截面库可选截面种类对截面的约束。

通过对背架结构的相关描述可知，本优化问题的特点——变量数庞大且均为型材式变量，若采用标准遗传算法，在初始阶段，变量数与种群个体数在同一数量级，导致初始种群多样性较为简单，不够丰富；其次，由于初始种群个体间相似度本身较高，若采用标准的交叉和变异，而不针对个体特征加以有效干预，会使得交叉后产生的父、子两代个体间并无显著改善［4，5］。因此为避免这种 “近亲繁殖”，提高遗传算法效率，通过对标准遗传算法中的一些关键算子及相关参数提出改进，最终采用改进遗传算法作为本问题的优化分析方法，解决了背架结构大规模型材式变量的优化问题。如下就这些具体的相关改进措施予以必要的阐述。

2 标准遗传算法的相关操作改进

2.1 种群初始化的改进

种群的多样性可作为评价遗传进化过程的重要标志。当遗传算法找到存在极值的某个区域时 （无论是全局还是局部），种群中的个体会持续不断的向该区域集中，从而出现诸多相似甚至相同的个体，导致种群多样性程度逐渐降低，最终影响到算法操作的效率以及搜索其它区域极值的能力。

为解决这个问题，采用Hamming 距离 （Hamming 距离是指两个体相应基因片段不同基因位的总数）控制初始种群的个体差异，用来丰富种群多样性，遏制超长个体的快速繁殖。具体方法如下：种群初始化中，每产生新的个体，都与前面所有个体进行比较，若新个体与前面某一个体的Hamming距离小于某一设定值 （例如：2～4，该数与个体编码长度有关），则停止比较，跳出循环，重新产生新个体。如此往复循环，直到产生个体间均有一定差异的种群［6，7］。

2.2 选择算子的改进

适应度比例法是目前遗传算法中最基本也是最常用的选择方法，是一种回放式随机抽样的方法。但若单纯采用适应度比例法进行选择，有可能会出现最优个体在选择过程中没有被选择复制到下一代。因此，本文在传统选择算子的基础上，引入父子竞争机制［8］。具体表现为父代的两个体交叉产生出子代的两个体，对这4个个体 （父子两代共4个）按照适应度高低排列，最高的2个个体进入下一代；如果父子两代的个体适应度相等，子代个体优先进入下一代［9］。将这两种方法结合起来，既能保证全局多峰性质的空间搜索，同时又能保证算法的收敛性。

2.3 交叉算子的改进

交叉操作是遗传算法的主要进化手段，交叉算子的设计包括以下3个方面：交叉点位置的确定、个体交叉概率的选择以及交叉配对方式的选择。标准算法中交叉算子对所有个体采用同一概率，并未具体结合个体的特点予以考虑。结合本问题特点——变量规模数庞大，若采用标准算法进行配对交叉，很容易产生前述提及的 “近亲繁殖”问题。因此对这三方面做出了如下改进：

（1）交叉位置的选择：两个体交叉最常用的就是单点交叉，当对两个体X、Y 进行交叉操作时，设X ＝｛x1，x2，…，xM｝，Y ＝｛y1，y2，…，yM｝，假 使交叉点选 择不当，仍有可能得到与父代一模一样的个体，导致交叉操作失效，算法无法跳出局部极值点［10］，如图3所示。因此有必要合理准确的定出其有效交叉域，并且在该范围内随机的进行交叉点选择，确保父子两代个体具有明显的差异性。其有效域确定方法如下［11］

有效域为：（vmin，vmax）。如：例如两个体X ＝1101101，Y ＝1010011，其交叉有效区域为 （2，6）。

图3 单点交叉无效操作

（2）自适应交叉概率：遗传算法的收敛性直接受到交叉概率的影响，较大的交叉概率pc使得新个体产生的速度较快，从而也导致优秀个体被破坏的可能性越高；而较小的交叉概率pc又会使得算法的有效进程大大降低。因此需要因个体的差异性不同而采用自适应交叉概率，即适应度值较高的个体采用较小的交叉概率，适应度值较低的个体采用较高的交叉概率，如式 （4）所示，公式中各符号的意义请参见文献 ［9］

（3）相关性配对交叉：相关性描述了两个体间的相似程度，设两个体X、Y 分别为

其中：xi∈｛0，1｝，yi∈｛0，1｝，i＝1，2，...，M。二者间的不相关指数如式 （5）所示

由此可以看出r（X，Y）代表了个X 和Y 之间不同基因的数目，因此在选择算子结束时，对筛选出的个体两两之间分别进行相关性计算，将相关性较小的两两个体组成配对，使得后续交叉操作的有效性大大提高。

2.4 变异概率

变异算子对遗传算法的局部搜索能力起到了辅助作用。该算子主要包含两方面：变异点位置的确定以及基因值的替换方式。最常用的变异算子是以某概率进行随机单基因座变异，而变异概率是随着进化阶段的更迭，不同阶段针对不同个体采用自适应的变异概率，如式 （6）所示

其中，pm1＝0.1；fmax是群体中最大适应度值；为各代群体平均适应度值；f 是待变异的个体适应度值。

3 改进算法仿真实例分析

为了说明改进算法的有效性，首先选取优化领域中常用的经典测试函数和典型结构模型为算例，分别采用标准遗传算法和本文的改进遗传算法，对其展开优化计算分析。通过对优化结果的优越性、迭代进化过程快慢、优化空间改进幅度大小等多方面进行对比，表明改进遗传算法的优势。

3.1 测试函数

（1）问题描述：利用标准遗传算法和改进遗传算法对2个常用的二元多峰数值Shaffer函数进行优化测试计算，并进行比较。其中函数f1是求最小值，函数f2是求最大值。且两个函数的定义域均为－100＜x，y＜100

（2）算法设置：对于标准遗传算法和改进遗传算法选择相同的参数：种群规模数M＝100，交叉和变异算子均采用自适应的交叉概率和变异概率，遗传的进化终止代数T＝200。由于f2是求最大值，可直接用函数本身作为其适应度函数；而f1是求最小值，需采用置大数（可设置为100）与函数做差后的结果，作为其适应度函数。同时，引入父子竞争机制。两种算法各自随机运行50次，其数值计算结果见表1。

表1 标准算法和改进算法测试结果对比

（3）标准算法与改进算法优结果比较：从表1以及图4可知，改进算法最小收敛代数、平均收敛代数都比标准算法相应值要少，改进算法更为稳定，不但很快收敛到全局最大值，且种群的优良性程度好。表明在优化过程中由于改进遗传算法引入了初始种群的多样性，以及交叉算子有效性的大大增强，使得优秀个体得以更快的产生。

图4 测试函数平均适应度曲线

3.2 十杆桁架

（1）问题描述：十杆桁架结构如图5 所示，已知P＝10kN。材料属性为：弹性模量E＝2.0×105Mpa，密度＝7.8×103kg／m3，材料的容许应力为 ［σ］＝100 MPa，a＝b＝2 m。根 据 材 料 供 应 的 截 面 库A ＝ ［1.132，1.432，1.459，1.749，1.859，2.109，2.276，2.359，2.659，2.756，3.086，3.382，3.486，3.791，4.292，5.076］cm2，该问题属于离散变量优化设计，采用遗传算法设计此结构，使得结构最轻。

图5 十杆桁架

（2）算法设置：以杆件截面面积为设计变量，结构质量最轻为设计目标，其优化数学模型如式（7）～式（9）所示

式中：C 为罚因子，采用大数，本文取C＝10 000

式中：Cmax为一个适当的相对较大的数。

由材料力学强度理论可知，各杆件应力应满足约束条件，如式 （8）所示。具体计算时，由于是求质量最轻，即最小值问题，并考虑到约束条件，采用罚函数将目标函数转化为遗传算法所能处理的无约束问题，如式 （9）所示，这样解空间中某一点目标函数值W 到搜索空间对应个体的适应度函数采用如式 （10）表示。运行参数为：群体规模M＝100，遗传的进化终止代数T＝100，改进遗传算法采用上述相关性配对交叉，并采用自适应交叉和变异概率，同时引入父子竞争机制。

（3）标准算法与改进算法结果比较：最终优化的迭代曲线如图6所示，由图5可以看出采用标准遗传算法目标函数从第80代基本开始收敛，最优值为19.9kg；而采用改进遗传算法，目标函数从第55代基本开始收敛，最优值为16.3kg。

从如上给出的多峰值数学函数、平面桁架结构优化分析可以看出，本文提出的改进遗传算法较标准遗传算法而言，在优化全程中，由于采用了自适应的交叉和变异概率，使其能依据个体的优劣程度灵活的选择交叉和变异概率，且在交叉中通过引入不相关性指数配对个体，确定有效区域来进行交叉，有效避免了近亲繁殖，从而使得每代种群的多样性及平均适应度值始终高于标准算法的结果。而在获取优秀个体方面，改进算法比标准算法能较早的获得更为优秀的解，且改进幅度也比标准算法更大。较好体现出了本文改进算法的有效性和先进性。

4 背架结构截面优化结果

如前所述，选取常用的圆型钢管截面构建截面库，共有16种截面备选，编码与型钢截面对应关系如表2所示。按照已建立的优化数学模型 （式 （1）～式 （3）），以反射面RMS值为优化目标，构件强度 （或稳定性）为约束条件，分别采用标准遗传算法以及改进遗传算法对背架结构杆件进行截面优化，两种算法的参数取值及说明见表3，最终优化迭代曲线如图7所示。这里给出采用改进遗传算法优化后的背架结构杆件截面尺寸：上弦径向杆件最大截面为146×7mm，最小截面为121×6mm；环向杆件最大截面为146×7mm，最小截面为121×6mm；下弦径向杆件最大截面为245×8mm，最小截面为121×6mm；环向杆件最大截面为146×7mm，最小截面为121×6mm；腹杆最大截面为219×8mm，最小截面为83×4mm。

图6 十杆桁架优化结果

表2 编码串与截面尺寸的映射关系

表3 遗传算法中的参数取值

图7 背架结构截面优化结果

从优化历程曲线来看，本文提出的集成多种改进措施后的遗传算法，针对该巨型射电望远镜背架结构截面优化，其优化进程较标准算法能较快的产生优秀个体；从优化历程变化幅度来看，采用改进算法其变化幅度更大；从最后的优化目标来看RMS 值更小，即结果更优 （标准算法为0.34mm，改进算法为0.306 mm）；较为有效地解决了望远镜背架结构大规模数型材式变量的优化问题。

5 结 论

（1）选取经典的数学测试函数以及十杆优化模型作为算例，较好的验证了本文提出的改进遗传算法。

（2）以110 m 角锥式网架方案背架结构为分析对象，主反射面RMS值为优化目标，在标准算法对截面优化取得高精度结果的前提下，采用本文提出的改进算法对结构予以优化，发现不但精度提高10%，而且获得优化结果的速度更快，优化幅度更大。

6 结束语

（1）对目前主要的望远镜结构优化分析方法进行了总结，在分析了各自优缺点的基础上，针对背架结构截面变量数较多，且均为圆钢管型材截面这一特点，对其算法中的部分算子进行了局部改进，提出了改进的优化算法，解决了大规模离散型变量的优化问题，目前适用于望远镜结构型钢截面的优化。

（2）本文提出的优化方法主要是针对背架结构截面尺寸的优化，并且是在重力荷载下的优化。今后可继续拓宽全可动望远镜背架结构优化层次，逐渐过渡到节点坐标优化以及背架结构拓扑优化，最终能够达到对背架结构实现多工况下的多类变量优化。

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