篮球罚球技术中“抛体运动方程”应用研究

李 铁，贺 丽

篮球罚球技术中“抛体运动方程”应用研究

李 铁，贺 丽

在篮球比赛中，决定篮球比赛胜负的是投篮得分的多少。队友之间的密切配合、战略战术的制定、球员的个人能力都是投篮得分的决定因素。在这其中，罚球则主要依靠球员个人能力，根据自己的身高选择一个合适的出手速度和角度，是可以保证百分之百的罚球命中率的。在运动学中，质点运动是最简单的一类。一般来说，如果物体大小和形状的变化对物体运动的影响可以忽略时，可以把物体视为一个质点来处理。质点是一个理想模型，但在很多实际情况中，是可以把很多实际物体视为质点的。例如篮球运动中，只考虑篮球的平动忽略其转动，则可以将篮球视为质点。只要找出各种具体质点运动所遵循的运动方程，就可以得到质点在任意时刻t的运动状态。本文将建立一个篮球运动模型，求解出其运动方程，并针对不同身高的球员给出一个合理的出手速度V0和角度 θ范围，及最佳出手速度V0b和 θb角度。

1 建立模型

在国际标准中，篮框的H=3.05m，篮筐中心与罚球者的L=4.225m，篮框的R=0.225m，篮球的r=0.123m。

以投球者所在地面为坐标原点，建立直角坐标系oxyz，则篮框中心的坐标为（0，L，H），如图1所示。其中，h为篮球的出手高度，V0为篮球出手速度，V0的正方向与Z轴正向夹角为出手角度θ。

图1 投篮示意图

现在考虑一个简单的情况，忽略空气阻力，考虑篮球在空中做的是平动的情况，即忽略其绕质心的转动，则篮球在空中的运动可用其质心的运动来描述，即把篮球的运动视为为质点运动。假定篮球的出手速度在x、y、z方向的分量分别为Vx0、Vy0、Vz0；篮球在空中做抛物线运动，在直角坐标系下，其速度和运动方程分别为：

考虑到初始条件t=0，x0=0，y0=0，z0=h，运动方程可改写为：

在以下的讨论中，我们只考虑正向投篮，出手速度v0的正方向与z轴正向夹角为θ，vx0=0，vy0=v0sinθ，vz0=v0cosθ，其运动方程

当篮球投入到篮筐中时，球心（质心）坐标为（0，y1，h），时间t=t1，由（2）式可得：

为简单起见，仅考虑篮球直接入筐的情况A，不考虑经篮板、篮圈反弹等复杂过程。在篮球运动过程中， t∈（0，t1）满足下述条件时，可以保证篮球在运动过程中不会碰到篮圈反弹。

2 结果分析

由公式（4）、（6）、（7）、（8），当出手高度h给定时，就可以得到运动员在罚球时能够投中篮框所需要的出手速度v0和出手角度θ。用Matlab计算出出手高度分别为1.8m、2.0m、2.2m、 2.4m时，能投中篮框的v0、θ值（见图2）。阴影区域即为在出手高度h一定的情况下，能投篮得分的出手速度v0和出手角度θ的区域。若该区域所包含的所有（v0、θ）参数点的坐标集合即为Z，则投篮命中条件可由判断函数F来描述。

图2 阴影区域即为v0-θ参数空间中的投篮命中区域

通过计算，得到罚球时不同出手高度h对应的最小的出手速度V0min，以及最大出手角度θmax。即只有当出手速度V0> V0min，出手角度θ≤θmax时才能投中篮框。

表1 投中篮框的V0、θ值

表1可见，当出手高度分别为1.8m、2.0m、2.2m、2.4m时，能投中篮框的为V0、θ值，最佳出手速度V0b。为保证尽可能高的命中率，要计算出“最佳的”出手速度V0b，这里“最佳”的评判标准是指在投篮命中的前提下所允许的出手速度和角度的相对误差最大。

图3 容许速度误差和容许角度误差，阴影区域Z中各点对应的△值

左图为容许速度误差和容许角度误差（△V0，△θ）（△V0，△θ）的定义；右图为阴影区域Z中各点对应的△值。

通过计算，可以得到不同出手高度h下的最佳值（V0b，θb），见图4。可以看到，最佳出手速度随h的变化单调减小而最佳出手角度则单调增大。

图4 不同出手高度h下的最佳值出手速度V0b和出手角度θb

3 结论

1）本文研究了罚球时的篮球抛体运动，在忽略空气阻力及其绕质心的转动的情况下，篮球在空中的运动可用其质心的运动来描述，即把篮球的运动视为质点运动。

2）通过建立模型，得到了罚球时篮球做抛体运动的运动方程，并得到了在出手高度h一定的情况下，投篮得分的出手速度V0和出手角度θ的区域Z，以及最小的出手速度V0min和最大出手角度θmax。

3）为保证尽可能高的命中率，还计算出了“最佳”出手速度V0b，即在罚球时以速度V0b、角度θb投出后，在投篮命中的前提下所允许的出手速度和角度的相对误差最大。

［1］马文蔚.物理学（上册）［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］张三慧.力学［M］.北京:清华大学出版社，1999.

［3］MATLAB数学实验与建模［M］.北京:清华大学出版社，2010.

［4］李江俊.抛体运动在实际问题中的应用研究［J］.和田师范专科学校学报，2012（31）.

Applied Research of the Projectile M otion Equation in Basketball Free Throw

LITie，HE Li

通过体育学、运动力学等学科知识，从抛体运动方程出发，忽略空气阻力及其绕质心的转动的情况下，针对不同身高的篮球运球员给出一个合理的出手速度和角度范围。研究发现：1）在忽略空气阻力及其绕质心的转动的情况下，篮球在空中的运动可用其质心的运动来描述，即把篮球的运动视为为质点运动；2）在出手高度h一定的情况下，能投篮得分的出手速度v0和出手角度θ的区域Z，以及最小的出手速度v0min和最大出手角度θmax；3）罚球时以速度v0b、角度θb投出后，在投篮命中的前提下所允许的出手速度和角度的相对误差最大。

篮球罚球；出手速度；出手角度；身高；抛体运动

The study focuses on advising the basketball p layers on a reasonable release speed and angle range according to their heights at free throws.The suggestion is given by applying“the projectilemotion equation”，ignoring air resistance and its rotation about themass center.The study finally concludes that:first，without consideration of the air resistance and its rotation about themass center，the basketballmovement in the air can be described by the movement of its mass center；second，with a definite release height h，a player scores onlywhen the domains Z between the release speed v0and the release angleθ；thrid，when a free throw is made at the speed v0band angleθb，on the premise that it scores，the relative error between the casting speed and the angle is to themaximum.

basketball free throw；shot speed；angle；height；the projectilemotion

G841

A

1003-983X（2015）07-0612-03

2015-03-16

李 铁（1980-），男，江苏徐州人，硕士，讲师，研究方

向：体育人文社会学、体育运动训练学研究.

江苏科技大学公共教育学院体育教研室，江苏张家港215600 Jiangsu University of Science and Technology，Physical Education Department of Public Education College， Zhangjiagang Jiangsu，215600