类比思想在数学分析中的运用

陈亦佳 白丽艳

(玉溪师范学院理学院,云南玉溪653100)

[数 学]

类比思想在数学分析中的运用

陈亦佳 白丽艳

(玉溪师范学院理学院,云南玉溪653100)

数学分析;类比;数学概念

类比思想是数学分析中一种重要的数学思想,运用类比思想可以揭示数学分析中的许多概念,引出相关的性质,也能帮助我们解决许多数学问题,其对数学分析学科的发展起到了极大地促进和推动作用.

类比是数学学习、研究中的重要方法,特别是在数学发现中,类比占有重要的地位.类比是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似和相同,推知它们在其他方面也可能有类似或相同的一种思想方法,类比是以比较为基础的.通过对两个不同对象进行比较,找出它们相似点或相同点,然后以此为根据,把其中某一对象的有关知识或结论推移到另一对象中去.科学上,不少新的学说是基于类比的方法建立的.如对各类动物特性的研究导致仿生学发展,傅里叶把热的传导与水的流动做类比,建立了热传导的精密理论.

同样,类比思想是数学分析中一种重要的数学思想,运用类比思想不仅可以揭示数学分析中许多相关概念,引出相关的性质,而且也能帮助我们解决许多数学问题,其对数学分析学科的发展起到了极大地促进和推动作用.

1 运用类比揭示概念

在数学分析中,类比是引出并揭示概念本质的一种重要的思想方法.数学分析一部分概念可以通过类比揭示概念本质,从而理解概念,也可以做类比引出新概念.例如,在学习极限的相关概念,我们可以通过类比掌握数列极限和函数极限,进一步掌握各种自变量趋势下函数极限的区别.另一方面,在学习二元函数的相关概念时,可用与一元函数的相关概念进行类比.例如,二元连续函数与一元连续函数都是描述自变量动点无限趋近于定点过程中,函数值无限接近于定点函数值的变化状态.基于这种相似性,可类比一元连续函数的概念来定义二元连续函数.同样,n元函数也可以类似定义.

数列极限和函数极限一样,都是反映有序变量无限趋近于某一定数的这一变化特征.数列{xn}是定义在正整数集N+上函数f(n)=xn,所以数列极限就是讨论自变量n无限增加时,数列{xn}的变化趋势.因此,我们由它们之间的对应量来揭示数列极限和函数极限之间的区别(见表1).

表1 数列极限和函数极限之间的区别

进一步,我们可以通过类比把函数在区间上一致连续和函数在区间上处处连续以及函数极限的柯西收敛准则区别开来.为此,列出表2,以作以比较：

表2 函数的处处连续、一致连续及函数极限的柯西收敛准则的区别

另一方面,我们分析一元函数的极限定义,是由那些量来刻画的,与二元函数极限中的对应量进行对比,并列出下表：

表3 一元函数的极限与二元函数极限定义的区别

类似的,我们可以通过一元连续函数、一元函数导数与微分、一元函数定积分的定义,类比得到二元连续函数、多元函数的微分、重积分的定义,进一步,n元函数的相关定义也可以类似得到,通过类比,使我们能够较好地掌握概念的本质.

2 运用类比引出性质

类比是引出和猜想新性质、新定义、新命题的一种常用的思想方法.例如,由数列极限的性质(唯一性、有界性、保序性、四则运算、两边夹定理、柯西收敛准则),通过类比,可以引出函数极限的性质(唯一性、局部有界性、保序性、四则运算、两边夹定理、柯西收敛准则).由函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数极限),通过类比,可以引出连续函数的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数连续性).又如,由于一元函数极限与二元函数极限定义的结构相似,本质相同.

因此,由一元函数的极限性质(唯一性、局部有界性、保序性、四则运算法则、柯西收敛准则等)及其证明方法,通过类比,既可以引出二元函数的极限性质(唯一性、局部有界性、保序性、四则运算法则、柯西收敛准则等)及其证明方法.同样,由二元连续函数的定义与一元连续函数的定义相似,可以类比猜想,得到二元连续函数相同的性质,如：在某一点附近的唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数连续性等.在有界闭区域上的有界性、最值性、介值性、一致连续性等,并容易证明这些猜想是正确的.根据二重积分定义与定积分定义的相似,可类比猜想,并证明二重积分具有类似于定积分的性质,如：线性性质、可加性、单调性、绝对可积、估值性、积分中值定理等.

由于正项级数的问题可以转化为其部分和数列的问题,所以函数项级数的问题也可转化为其部分和函数列的问题.因此在研究函数项级数时,可以从研究函数列着手,把研究中得到的有关函数列的基本定理、性质,进行类比平行得到函数项级数的相应地基本定理与性质.

3 运用类比解决问题

类比是寻求解题思路和解题方法的一种关键思想.

例1 中值定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使

柯西中值定理：f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,且∀x∈(a,b),有g′(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使

分析 拉格朗日中值定理的证明的关键是构造的辅助函数：

辅助函数的构造主要有以下两种方法：

第一种,原函数法(也称微分方程法).具体步骤如下：首先,将欲证结论中的ξ改成x;其次,将式子写成容易去掉一次导数符号的形式(即容易积分的形式);最后,去掉一次导数符号(即作一次积分),移项,使等式一端为“0”,另一端即为新作辅助函数F(x)(为简便,积分常数取“0”).

对于拉格朗日中值定理：令ξ=x,则

两边积分得：

令C=0并移项得：

通过类比,对于柯西中值定理：

令ξ=x,则

即

两边积分得：

第二种,常数k值法.此法适用于常数部分可被分离出的命题,构造辅助函数的步骤如下：首先,令常数部分为k;其次,做恒等变形,使上述等式一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b及f(b)构成的代数式;最后,分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式.若是,只要把a(或b)改写为x,相应地函数值f(a)(或f(b))改写为f(x),则代换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x).

如：对于拉格朗日中值定理：

即

可以类似构造柯西中值定理的辅助函数.

例2 设f(x,y)在有界闭区域D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]上连续,且区域D关于x轴是对称的,那么(1)若在D上恒有f(x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于y是奇函数,则

(2)若在D上恒有f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于y是偶函数,则其中D1是D在y≥0部分的区域.

分析 可以类比一元函数类似的定理：设f(x)在[-a,a]上连续,那么当f(x)是奇函数时,则)当f(x)是偶函数时,则及其证明.

证明 (1)由于f(x,y)在D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]连续,且f(x,y)是奇函数,有

则

设y=-t有dy=-dt,则

因此

(2)由于f(x,y)在D[-a≤x≤a,-b≤y≤b]上连续,且f(x,y)是偶函数,有

则

设y=-t有dy=-dt,则

解：由于

则

解 由于对∀n∈N+有,所以xn是单调递增的.

其次,对∀n∈N+,有即,数列{xn}有界.根据单调有界定理,数列{xn}是收敛的.

4 结 语

类比思想是数学分析中一种重要的数学思想,运用类比思想可以揭示数学分析中的许多概念,引出相关的性质,也能帮助我们解决许多数学问题,其对数学分析学科的发展起到了极大地促进和推动作用.同样,数学分析课程作为数学与应用数学专业一门重要的基础课,通过对该课程的学习,可以为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程打下坚实的基础.而在教学过程中,教师如果能将类比思想与具体的教学内容进行有机的结合,使学生不只停留在形式的推演上,而且能深入理解数学分析知识的本质和意义,让学生知其然,而且知其所以然.同样,在学习过程中,学生如果能灵活运用类比思想来指导自己的学习,则不仅能增加其对数学知识和理论的理解,而且也有利于其独立创新能力的养成.

[1]刘玉琏.数学分析讲义：第5版[M].北京：高等教育出版社,2008.

[2]裴礼文.数学分析中的典型类题和方法：第2版[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析：第2版[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社.2011.

Application of Analogy in Mathematics

CHEN Yijia BAI liyan
(School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100,China)

mathematical analysis;analogy;mathematical concept

As an important mathematical idea,analogy can reveal many concepts in mathematical analysis and draw forth related characteristics.Its use can lead to the solution of many mathematical problems and the promotion of the development of mathematical analysis.

陈亦佳,硕士,讲师,主要从事复分析方向研究.

O174.52

A

1009-9506(2015)08-0029-06

2015年5月11日