多项式拟合在GPS坐标系统转换中的应用研究

王建设

（安徽省煤田地质局第三勘探队，安徽宿州234000）

多项式拟合在GPS坐标系统转换中的应用研究

王建设

（安徽省煤田地质局第三勘探队，安徽宿州234000）

在测绘作业过程中,经常需要在不同坐标系统进行坐标转换以满足实际作业的需求。文中简述不同转换方法和坐标系统模型，利用多项式拟合的方法在GPS坐标系统和其他坐标系统之间进行转换。叙述转换过程并求解拟合公式。论文主要以WGS-84坐标系和西安80坐标系拟合为例，最后评估转换的精度。

多项式拟合；GPS坐标系统；坐标转换；精度评估

1.引言

随着科学技术的发展,各种新的测量技术在经济建设和国防建设中的作用日益扩大。测量新技术全球定位技术GPS、地理信息技术GIS、遥感技术RS及数字摄影在测量中的发展具有明显优点[1]。这些新技术在勘测、设计、施工及养护等各阶段的应用日益广泛。

虽然全球定位系统（GPS）以其优秀的特点为测绘工作者带来了很大的便利，但是需要注意的是，传统的测绘和现代测绘技术有明显的不同，其中以坐标系、坐标表达方式和精度不同为突出特点[2]。要实现充分利用好传统测绘技术和现代测绘成果，两者的相互转换成了很重要并且经常要实现的一个问题。在精度评价等方面多项式拟合算法是可行的。

2.多项式拟合法[3]

假设给定数据点（xi,yi)（i=0,1,…,m），Φ为所有次数不超过n（n≤m）的多项式构成的函数类，现求一,使得：

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的Pn（x）称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合[4]。

显然：

为a0，a1，…an的多元函数，因此上述问题即为求I=I（a0，a1，…an）的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得：

即：

（3）是关于a0，a1，…an的线性方程组，用矩阵表示为：

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出ak（k=0,1,…，n），从而可得多项式：

可以证明，式（5）中的Pn（x）满足式（1），即Pn（x）为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式Pn（x）的平方误差，记作：

由式（2）可得

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

（1）由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定拟合多项式的次数n。

（3）写出正规方程组，求出a0，a1，…an。

（4）写出拟合多项式。

在实际应用中，n＜m或n≤m，当n=m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式[6]。

3.多项式拟合在GPS坐标系统转换中的应用研究

3.1 多项式拟合在GPS坐标系统转换[7]中的应用

测得安徽省淮南市某地区16平方公里1:1000地形图中26个控制点坐标，该地区中央子午线为117°，用3°带划分为39度带。各个控制点坐标都有对应西安80坐标系和WGS-84坐标系的大地坐标、平面坐标。该地形图长约5700m，宽约3300m，地面高度在15m-30m之间。

随机从26个控制点中挑选出21个红色控制点用来进行多项式拟合，5个绿色控制点用来检验拟合过的多项式公式的精度可靠性。如图3-1所示：

图3 -1安徽省淮南市某地区地形图控制点分布示意图

3.2 拟合过程与步骤

首先从Auto CAD 2006二次开发软件CASS7.1中打开矢量图形如上图3-1，标记好26个控制点，随机选取5待验证点和21个求拟合公式的点。然后导出控制点坐标数据，新建一个Microsoft Excel工作表，把编好号的控制点坐标数据导入工作表中。

在Excel工作表中插入图标，选择散点图，然后选定数据区域西安80平面坐标的东坐标列的所有数据为X坐标，选定所有WGS-84平面坐标的东坐标列的所有数据为Y坐标，在图形中点击添加趋势线，设置多项式最高次数、趋势线名称、多项式公式显示、数据区域等之后，求出5个待验证的西安80平面坐标系的东坐标，用于验证的5个控制点坐标数据，见表1、表2、表3、表4所示。利用误差原理公式，得出求解东坐标与对应原东坐标的点位误差。

表1 用于验证的西安80平面坐标

表2 用于验证的WGS-84平面坐标

表3 用于验证的西安80大地坐标

表4 用于验证的WGS-84大地坐标

3.3 计算与分析

进行多项式拟合，拟合之后公式和走势图如下：

图3 -2西安80坐标和WGS-84坐标平面东坐标Y拟合的走势图

图3 -3西安80坐标和WGS-84坐标平面北坐标X拟合的走势图

P228.4

A

1671-752X（2015）03-0068-02

2015-02-14

王建设（1967-），男，安徽淮北人，安徽省煤田地质局第三勘探队工程师，研究方向：工程测量。