几何综合测试卷

一、填空题

1.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∥β，aα，则a∥β；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；

④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

其中正确的命题的序号是 .

2.离心率为53且与椭圆y240+x215=1有公共焦点的双曲线方程为 .

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为 .

4.设过抛物线x2=py（p≠0）的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两交点的横坐标为x1，x2，则x1x2= .

5.已知椭圆x24+y23=1，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆上一点，若PF2=32，则PF1= .

6.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 .

7.设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点，且经过点（2，2），则该椭圆的离心率为 .

8.已知单位圆被两条平行直线l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段长度相等的圆弧，则a2+b2= .

9.若圆C过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，则圆C面积的最小值为 .

10.如图，点A是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B、C两点，满足BC=2AB，AB⊥BC.则该椭圆的离心率为 .

11.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦长为23，则a= .

12.已知圆M：x2+y2=92，直线l：x+y-3=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B、C，使得∠BAC=90°，则点A的横坐标的取值范围是 .

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，则该三角形面积的最大值为 .

14.已知A为椭圆x24+y22=1上一点，B为直线l：y=2上一点，O为坐标原点，OA⊥OB，则线段AB长的最小值为 .

二、解答题

15.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E是棱DD1的中点.

（1）求证：BD1∥平面EAC；

（2）若平面EAC⊥平面AB1C，求AA1AB的值.

16.如图，F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，且满足∠F1AF2=90°.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若△ABF1面积为4，求椭圆C的标准方程.

17.有一隧道内设双行线公路（中间有护栏隔开），其截面是由一长方形ABCD和一以CD为直径的半圆弧构成，如图所示.已知AB=10m，AD=2m.要保证安全，要求车辆（车辆截面设为矩形）顶部在竖直方向距离隧道顶部的距离和车辆距离护栏距离均不小于05m.（护栏宽度忽略不计）

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求半圆弧CED所在圆的方程；

（2）问现有一辆载重汽车宽3.5m，高4.2m，能否保证安全通过隧道？

18.已知圆E经过三点A（2，1）、B（3，0），且点C（m，0）在线段OB上（不含端点）.

（1）求圆E的方程；

（2）过点P（0，2m）的直线与圆E相切与点为Q，求线段PQ长度的取值范围.

19.设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.

（1）求椭圆M方程；

（2）若直线l：y=kx与椭圆M交于A，B两点，与以F1O为直径的圆交于C，O两点，且满足|AB||CO|=6155，求直线l的方程.

20.如图（1），在平面直角坐标系xOy中，离心率为的e椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知点（2，2e）在椭圆上，点A1、B1分别为椭圆的右顶点和上顶点，从椭圆上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F1，且MF2∥A1B1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上第一象限内的点，如图（2），点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴交于点C，CD=12DQ，若直线AD与椭圆C的另一个交点为B，试判断直线PA、PB是否互相垂直，并证明你的结论.

理科选做题

21.已知E，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的点，CE=ED，DF=2FA，求：

（1）B1A与EF所成角的余弦；

（2）试在直线B1B上确定一点M，使得二面角D1EFM为直二面角.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF=0，PM+PN=0.

（1）求动点N的轨迹C的方程；

（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0.求证：k1+k2=2k0.

参考答案

一、填空题

1. ①④

2. y29-x216=1

3. 1256π

4. -p24

5. 52

6. 3x2-y2=1

7. 22

8. 2

9. 4π5

10. 63

11. 2

12. [0，3]

13. 43

14. 8

二、解答题

15.解：（1）连BD交AC于点O，连EO.则O为BD的中点.

∵E为DD1的中点，

∴OE∥BD1.

∵OE面EAC，BD1面EAC，

∴BD1∥面EAC.

（2）连B1O，则B1A=B1C，又O为AC的中点，

∴B1O⊥AC.

∵平面EAC⊥平面AB1C，平面EAC∩平面AB1C=AC，B1O平面AB1C，

∴B1O⊥平面EAC.

∵EO平面EAC，

∴B1O⊥EO.

∴△ODE∽△B1BO，

∴DOED=B1BBO，从而12AB2=12B1B2，

∴AA1AB=1.

16.（1）因为∠F1AF2=90°，

所以b=c，

所以a=2c，

所以e=22.

（2）y=-x+cx2+2y2=2c2

得B（43c，-c3），

S△ABC=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，

c2=3，

所以椭圆的标准方程为x26+y23=1.

17.（1）由题意可知圆的半径为5，圆心在坐标原点，

所以半圆弧所在圆的方程为x2+y2=25.

（2）当x=4时，y=3，

这时距离底部5米，

大于4.2+0.5=4.7米，

所以能通过隧道.

18.（1）圆心的横坐标为m+32，

AB的中垂线为y=x-2，

所以圆心E的坐标为（m+32，m-12），

半径为r=（3-m2）2+（m-12）2=m2-4m+52，

（x-m+32）2+（y-m-12）2=m2-4m+52，

即x2-（m+3）x+y2-（m-1）y+3m=0.

（2）PQ2=PE2-r2=2m2+5m，

又因为0

0

所以PQ的长度的取值范围为（0，33）.

19.解：由题意可知b=3，ca=12，

所以a=2，b=3，c=1，

所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.

（2）以F1O为直径的圆的方程为x2+x+y2=0，

y=kxx2+x+y2=0，

解得xc=-11+k2，

y=kx3x2+4y2=12，

解得xA，xB=±123+4k2，

ABCO=2123+4k211+k2，

（ABCO）2=48（1+k2）23+4k2=1085，

20k4+4k2-7=0，

解得k2=12或k2=-710（舍），

所以直线方程为y=±22x.

20.解：（1）因为M的横坐标为-c，

则M（-c，b2a），

因为MF2∥B1A1，

所以b2a2c=ba，

所以e=55，

又因为点（2，255）在椭圆上，

45c2+454c2=1，

解得：c=1，

所以椭圆的标准方程为x25+y24=1.

（2）设P点坐标为（x0，y0），B点坐标为（xB，yB），则A点坐标为（-x0，-y0），Q点坐标为（x0，-y0），D点坐标为（x0，-y03），

kAB·kPB=yB+y0xB+x0·yB-y0xB-x0=y2B-y20x2B-x20，

又因为y2B4=1-x2B5，y204=1-x205，

kBA·kPB=-45，

kBA=kDA=-y03-（-y0）x0-（-x0）=y03x0=13kPA，

kPA·kPB=-125，

所以直线PA、PB不垂直.

21.解：设正方体的棱长为6，以A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.

（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F（0，2，0），

所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），

所以cos〈B1A，EF〉=1862·5=3210.

所以B1A与EF所成角的余弦为3210.

（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），FD1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），

设平面D1EF的一个法向量为n=（x，y，z）.

则n·EF=0n·FD1=03x+4y=04y+6z=0，

令y=-3，则x=4，z=2，

所以平面D1EF的一个法向量为n=（4，-3，2）.

设面EFM的法向量为m=（p，q，r），

设M（6，0，m），则FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），

所以6p-2q+mr=03p+4q=0，

令p=-4，则q=3，r=30m，

所以面EFM的一个法向量为m=（-4，3，30m）.

要使二面角D1EFM为直二面角，

必须m·n=-25+60m=0，

∴m=125.

故当M在B1B上且满足BMBB1=25时，二面角D1EFM为直二面角.

22.解：（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）.

由PM+PN=0可知，点P是MN的中点，

所以a+x2=0，0+y2=b，即a=-x，b=y2，

所以点M（-x，0），P（0，y2）.

所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.

由PM·PF=0，可得-x+y24=0，即y2=4x.

所以动点N的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）设点Q（-1，t），

由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，

联立方程y2=4xy-t=k（x+1），整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0.

则Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，

化简得k2+tk-1=0.

显然，k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，所以k1+k2=-t.

又k0=-t2，故k1+k2=2k0.

所以命题得证.

（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）