《平面解析几何》易错题剖析

平面解析几何是高中数学的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，所涉及的知识甚多，同时易错点也非常多.在高三复习中，如能在这些易错点上，强化正误辨析意识，就会加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析解析几何的常见错误出发，为同学们在以后的平面解析几何复习中防微杜渐，起抛砖引玉之用.

易错点一：基本概念理解偏差致错

例1 （1）过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程 ；

（2）已知定圆F1：（x+5）2+y2=1，圆F2：（x-5）2+y2=16，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心的轨迹方程.

错解：（1）中设所求直线方程为xa+yb=1，由（2，1）在直线上得2a+1b=1及ab=8得a=4，b=2，

故所求直线方程为x+2y=4.

（2）由F1：（x+5）2+y2=1，F2：（x-5）2+y2=16，设圆M半径为r，则MF1=1+r，MF2=4+r，

故MF2-MF1=3<|F1F2|=10，知M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a=3，a=32，c=5；b2=c2-a2=914，故M的轨迹方程为：x294-y2914=1.

错因分析：（1）截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab.

（2）上述解法将MF2-MF1=3看成|MF1-MF2|=3，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.

正解：（1）所求直线方程应为：x+2y=4，或（2+1）x-2（2-1）y-4=0，

或（2-1）x-2（2+1）y+4=0.

（2）应在上述解法中添加：由于MF2-MF1=3，知MF2>MF1，点M的轨迹是双曲线的左支，

故M的轨迹方程为：x294-y2914=1（x≤-32）.

评注：“距离”与“截距”、圆锥曲线的定义、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，若理解入陷阱，易致错.

易错点二：知识掌握不重细节，忽视实际条件致错

例2 过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程 .

错解：设直线斜率为k，其方程为y-2=k（x+4），则与x轴的交点为（-4-2k，0）.

∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.故所求直线的方程为x+5y-6=0.

错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x=-4也符合题意.

正解：x+5y-6=0或x=-4.

评注：在直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在的情况，是很多同学常犯的错误.

易错点三：审题不清，条件审视不全致错

例3 （1）过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程 ；

（2）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.

错解：（1）设所求方程为xa+ya=1，将（1，1）代入得a=2，得直线方程为x+y-2=0.

（2）将圆的方程配方得：

（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24.

∵其圆心坐标为C（-a2，-1），半径r=4-3a24，当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|>r，

即（1+a2）2+（2+1）2>4-3a24.即a2+a+9>0，解得a∈R.

错因分析：（1）上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y=x也符合条件，典型的审题不全致错！

（2）本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|>r，却忽视了a的另一制约条件4-3a2>0.

正解：（1）x+y-2=0；x-y=0.

（2）圆方程为（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，

由a2+a+9>0及4-3a2>0可得a的取值范围是（-233，233）.

评注：审题的关键环节挖掘问题的隐含条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌！

易错点四：过分偏重技巧、忽视本质致错

例4 已知双曲线x2-y22=1，问过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

错解：假设符合题意的直线l存在，并设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则x21-y212=1（1）x22-y222=1（2）

（1）-（2）得（x1-x2）（x1+x2）=12（y1-y2）（y1+y2） （3）

因为A（1，1）为线段PQ的中点，

所以x1+x2=2（4）y1+y2=2（5）

将（4）、（5）代入（3）得x1-x2=12（y1-y2），若x1≠x2，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，

所以符合题设条件的直线l存在，其方程为2x-y-1=0.

错因分析：（3）式成立的前提下，由（4）、（5）两式可推出（6）式，这是很多同学都十分熟悉的“点差法”.这种“设而不求”的解题技巧虽简化了解题过程，但忽视了大前提：必需两根都存在，要用判别式去检验！

正解：应在上述解题的基础上，

再由y=2x-1x2-y22=1得2x2-4x+3=0，

根据Δ=-8<0，

说明所求直线不存在.

评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过联立方程组，用判别式来判别解的情况是前提.一些技巧性的解法，虽简化了过程，但忽视了本质，易致错.

易错点五：错在解析几何，根在函数与方程，数据处理方法致错

例5 过点A（0，1），B（4，m）且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程.

错解：设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中r2=b2.

将A，B的坐标代入，

得a2+1-2b=0a2-8a+16+m2-2mb=0，

消去b得（1-m）a2-8a+m2-m+16=0 （），由题设知方程（）只有一解.

故此关于a的一元二次方程

Δ=64-4（1-m）（m2-m+16）=0，

即：m（m2-2m+17）=0，所以m=0，此时a=4，b=172，

故所求方程为（x-4）2+（y-172）2=（172）2.

错因分析：（1-m）a2-8a+m2-m+16=0只有一解时，忽视m=1，方程是一元一次方程，也是一解！用方程手段处理解析几何问题时，二次项系数含参数时，不考虑其能否为零，是致错的根本原因.

正解：应在上述解题过程中加条件m≠1.

再补充：当m=1时，方程（）只有一解.此时a=2，b=52，

故所求方程为（x-2）2+（y-52）2=（52）2.

评注：解析几何的本质是用代数的方法研究平面几何问题，往往对常见代数问题处理能力和手段会直接影响解析几何问题的解决，从而产生“错在解析几何，根在函数与方程”的现象.

上面谈及的问题和所举例题，只是解析几何中部分常见错误.整个高三一轮复习是一个见微知渐的过程，希望通过错误的剖析引导同学辨析正误.而产生错误的最根本原因是基础掌握不牢，概念理解不透，对基本方法一知半解.故在解析几何的复习中，狠抓三基，不断对相应题型作出归纳总结，定能取得不俗效果！

（作者：顾华，江苏省海门中学）