简化圆锥曲线运算的几种数学思想

范运灵

一、整体思想

对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度.

例1 已知F1（-c，0）、F2（c，0）是椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，O为坐标原点，

圆F2是以F2为圆心，c为半径的圆.若点P（-1，32）在椭圆上，线段PF2的中点在y轴上.

（1）求椭圆M的方程；

（2）如图，过F2且斜率为正数的直线l与椭圆M交于A，D两点，与圆F2交于B，C两点（A、B、C、D自下而上），且AB=5CD，求直线l的方程.

解：（1）由已知，c=1，1a2+94b2=1，a2=b2+c2，解得a2=4b2=3.

∴椭圆M的方程为x24+y23=1.

（2）设直线l的斜率为k，（k>0），A（x1，y1），

D（x2，y2），

则l的方程为y=k（x-1），

x24+y23=1y=k（x-1）（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=8k24k2+3，①

x1x2=4k2-124k2+3，②

∵AB=5CD，

∴AF2-1=5（DF2-1），∴AF2=5DF2-4，

∴12（4-x1）=52（4-x2）-4，

∴x1=5x2-8，③

联立①②③，得k2=3，又∵k>0，∴k=3.

二、方程思想

把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用.

例2 已知双曲线C：（1-a2）x2+a2y2=a2（a>1），设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M（0，m）为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设PM的斜率为k，且14≤k≤13，求实数a的取值范围.

解：由双曲线方程知A（0，1），则抛物线方程为x2=-4（m-1）（y-m），由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为（-a，a），又因为点P在抛物线上，所以

a2=-4（m-1）（a-m） ①

而MP的斜率为k=m-aa，所以m=ak+a，

将m=ak+a代入①，

得a2=-4（ak+a-1）（-ak），

即4ak2+4（a-1）k-a=0 ②

根据题意，方程②在区间[14，13]上有实根，

令f（k）=4ak2+4（a-1）k-a，其对称轴方程为k=1-a2a<0，

所以f（14）≤0f（13）≥0127≤a≤4，

所以实数a的取值范围为[127，4].

三、极端思想

通过考查圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度.这是简化运算量的一条重要途径.

例3 求已知离心率e=25，过点（1，0）且与直线l：2x-y+3=0相切于点（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.

解：把点（-23，53）看作离心率e=25的椭圆（x+23）2+15（y-53）2=0（“点椭圆”），则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0，

又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，λ=-23，

因此，所求椭圆方程为：x2+y25=1.

四、补集思想

有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的.

例4 k为何值时，直线l：y-1=k（x-1）不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.

解：设I={k|k∈R}，A={k|直线l垂直平分抛物线y2=x的某弦}.若直线l垂直平分抛物线的弦AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则y21=x1，y22=x2，

上述两式相减得：（y1-y2）（y1+y2）=x1-x2，

即-1k=y1-y2x1-x2=1y1+y2.

又设M是弦AB的中点，且M（x0，y0），

则y0=y1+y22=-k2，

因为点M在直线l上，所以x0=12-1k.

由于M在抛物线的内部，所以y20

即（-k2）2<12-1kk3-2k+4k<0

（k+2）（k2-2k+2）k<0-2

故原命题中k的取值范围是k≤-2或k≥0.

五、函数思想

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便.

例5 直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过P（-2，0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.

解：由y=kx+1x2-y2=1（x≤-1）消去y得（k2-1）x2+2kx+2=0，由题意，有：

Δ=4k2+8（1-k2）>0x1+x2=2k1-k2<0x1x2=-21-k2>01

设M（x0，y0），则x0=x1+x22=k1-k2y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0）、M（k1-k2，11-k2）、Q（0，b）三点共线，可求得b=2-2k2+k+2，

设f（k）=-2k2+k+2=-2（k-14）2+178，

则f（k）在（1，2）上为减函数.

所以f（2）

所以-（2-2）2.

六、参数思想

处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的.

例6 当a为何实数时，椭圆（x-a）22+y2=1与曲线C：y2=12x有公共点？

解：椭圆方程变形为：（x-a2）2+y2=1，

设x-a2=cosθ，y=sinθ，即x=a+2cosθ，y=sinθ代入曲线C得：

sin2θ=12（a+2cosθ），

即a=2sin2θ-2cosθ （1）

椭圆与曲线C有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数y=2sin2θ-2cosθ的值域，

所以a=2sin2θ-2cosθ=94-2（cosθ+24）2，

因为-2≤94-2（cosθ+24）2≤94，所以a的取值范围是[-2，94].

七、转化思想

数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程.它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程.

例7 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，由①知r2=a2+1；由②知，圆P截x轴所得劣弧对应的圆心角为90°，即圆P截x轴所得的弦长为2r，故有r2=2b2，消去r得圆心的轨迹为：2b2-a2=1.

如何求圆心P（a，b）到直线l：x-2y=0的距离d=|a-2b|5的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题.

转化1：变量替换求最值

∵2b2-a2=1，∴（2b+a）（2b-a）=1，

设2b+a=t（t≠0），则有2b-a=1t，解得2a=t-1t，22b=t+1t，所以有

d=|a-2b|5=|（t-1t）-2（t+1t）|25

=|（2-1）t+（2+1）1t|25

=（2-1）t+1（2-1）t25≥55，

当且仅当（2-1）|t|=1（2-1）|t|，即|t|=2+1时，d达到最小值.此时可求得a=b=1或a=b=-1.

由于r2=2b2，故r=2.于是所求圆的方程是：

（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.

转化2：三角代换求最值

令2b=1cosθ，a=tanθ，0≤θ≤2π，

则d=|a-2b|5=2-sinθ5|cosθ|sinθ±5dcosθ=2，

所以1+5d2sin（θ±φ）=2，

由sin（θ±φ）=21+5d2≤1，得d≥55，

当d达到最小值55时，sin（θ±φ）=1，从而φ=±π4，并由此解得θ=π4或θ=3π4，

即a=b=1或a=b=-1，以下同解法1.

转化3：判别式法求最值

由d=|a-2b|5得a-2b=±5b，

即a2=4b2±45bd+5d2 ①

将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±45bd+5d2+1=0 ②

把它看作b的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

Δ=8（5d2-1）≥0，得5d2≥1，

所以d≥55，

将d=55代入②，得2b2±4b+2=0，

解得b=±1，

从而r2=2b2=2，a=±1，由|a-2b|=1，知a与b同号，

于是，所求圆的方程为：（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.