数学专业“复变函数”课程的教学探讨

陶元红+南华+刘东旭

摘要：本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了在“复变函数”课程教学中应该注意的三个环节，并探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排。

关键词：数学专业;复变函数;数学分析;教学探讨

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）23-0278-02

“复变函数”课程是高等院校数学专业的一门重要的专业基础课，该课程体系完整、理论性强，对学生的理论知识要求比较高。数学专业的许多后续课程，甚至研究生阶段开设的分析理论课程，都会涉及复变函数论的内容。“复变函数”课程的内容是“数学分析”中实变函数微积分的推广和发展，所以在我国高等院校数学专业的课程设置中，通常会把“复变函数”这门课程当作“数学分析”课程的后续课程，将其安排在二年级下半学期或三年级，此时学生已经完整地学习过三个学期的“数学分析”课程，对一元函数和多元函数微积分的核心内容已经很熟悉。多年来，笔者一直在延边大学数学系从事“复变函数”课程的教学工作，研读了不同的“复变函数”教材[1-4]和一些教学研讨文章[5]，在教学中发现了一些学生在学习“复变函数”课程时的一些困惑和问题，也积累了一些教学经验。本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节以及对第一次课的教学内容的有效选择和安排。

一、初学“复变函数”课程的学生可能存在的问题及教学策略

笔者在教学中发现，在“复变函数”开课之初，大多数学生都迫切地想知道该课程的重要性以及难易程度。鉴于“复变函数”课程的知识体系与“数学分析”的相关知识有着非常密切的联系，如果有些学生对“数学分析”没有很好的掌握，就会对“复变函数”课程产生畏惧;而有些“数学分析”学的很好的学生，会认为对微积分的内容已经有所了解，从而忽视“复变函数”课程的重要性。针对上述问题，笔者认为教师在教学中应尤其注意以下三个环节：①在开课之初就要明确复变函数论的重要性，做好“复变函数”课程与“数学分析”课程的有效衔接，消除学生的疑虑，调动学生的学习兴趣。②在“复变函数”课程的教学过程中，应该注意与“数学分析”课程的比较，把“数学分析”的相关内容引进来，让学生在复习旧知识的基础上，吸收新内容。③在教学中，要特别强调：复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法，在很多方面“复变函数”与“数学分析”这两门课程的知识是不同的，不可以照搬照抄，也不可以盲目地进行推广。笔者在教学中能够很明确地感觉到做好如上三个环节中的第一环节在“复变函数”的教学中至关重要。这一环节做好了，就可以为学生定下一个“放下包袱、轻装上阵”的学习基调，给学生一个能够学好此门课程的信心并调动起学生愿意主动探究学习此门课程的学习动力。那么面对已经熟练掌握一元和多元微积分知识的学生，怎样做好第一环节呢？笔者认为这就需要教师精心设计和安排第一节课的教学内容。

二、作好数学分析与复变函数课程的有效衔接，精心设计第一节课

正所谓“万事开头难”，任何一门新课的开始都是要精心准备的，都要给学生解答“学什么”、“为什么学”和“怎么学”这三个问题，要让学生对这门课程有个大体的认识，让学生了解此门课程并有信心、有兴趣去学习它。针对已经学习了“数学分析”课程的学生可能出现的迫切、畏惧和轻视的问题，笔者认为“复变函数”第一节课的教学内容应该包括：①复变函数论的历史和重要性。②“复变函数”课程内容的概述。③“复变函数”课程与“数学分析”课程的主要异同点的概述。④应该采用的学习方法。但是如何能够让学生轻松地接受上述四个内容，这还需要教师采用学生易于接受的方式来合理安排教学内容的顺序。笔者在教学中发现：将上述四个内容按照“3421”的教课顺序，会收到事半功倍的教学效果，具体操作过程如下。

1.先不必拘泥于严谨的细节，选取“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念——“函数、极限、微分、泰勒级数”，通过对比它们在两门课程中的异同，用学生可以理解的方式讲出“复变函数”课程中这些概念的优点，这样不仅复习了“数学分析”的内容又引入了新的知识，可以充分引起学生们的亲切感和好奇心，消除学生对课程的疑虑和畏惧，调动学生愿意主动探究的学习兴趣。

2.比照教材目录，将“复变函数”的课程内容简明地概述给学生，指出课程的重点和难点，同时指出哪些章节要略讲，哪些章节要详细讲，这样就可以让学生对复变函数有一个总体的认识，树立学习此课程的信心。

3.讲清楚授课的路线是沿着：函数—极限—连续—导数—积分—级数这一条主线来进行的，与“数学分析”中微积分的讲解类似，只不过将研究对象从“数学分析”中的实变函数换成复变函数。告诉学生：对于与“数学分析”中类似的内容简单讲过，会多花时间讲授两门课程不同的性质。

4.建议学生采用结合“数学分析”与“复变函数”的异同，进行比较学习的方法，一边复习旧知识一边学习新知识，这对于学生在学习“复变函数”的同时又深入理解“数学分析”是非常有利的，而且还可以培养学生理解不同数学课程之间的联系与区别，加强数学知识的连贯性，为今后学习后续专业课打下基础。

5.简短介绍复变函数论的产生历史和广泛应用：复变函数论产生于18世纪，就像微积分的直接扩展统治了18世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了19世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数论的应用很广泛，有很多复杂的计算都是用它来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题等。

三、“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析endprint

下面我们来探讨关于对比分析“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念——“函数、极限、微分、泰勒级数”的具体细节。

1.这两门课程中讨论的函数是不同的，图像表述也尤为不同。“数学分析”中讨论的一元函数y=f（x）是实变函数，其自变量x和因变量y都是实数，因此，实数和数轴是研究实变函数的基础，此时函数的图像可以画在同一个平面直角坐标系中;而复变函数w=f（z）的自变量z和因变量w都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础，此时若想描述复变函数的图像，则需要两个平面直角坐标系分别表示自变量z和因变量w的变化。

2.极限和导数的定义形式是相同的，但内涵已经完全不用。利用函数在一点处导数的定义，同时剖析“复变函数”与“数学分析”中极限概念和导数概念的异同。“数学分析”中定义在区间[a，b]上的实函数y=f（x）在点c∈[a，b]处的导数定义为：f'（c）=■■，其中只考虑自变量x从点c的左右两个方向沿着实轴这一直线逼近，当左右极限都存在且相等时，我们称函数y=f（x）在点处可微分。复变函数w=f（z）在平面区域上点处的导数定义在形式上和一元实函数的导数是类似的：f'（z0）=■■，但是自变量z趋于点z0的方向不在仅局限于左右两个方向，而且趋近的路径也不局限于直线，还可以是任意形状的曲线。通过上述两个导数定义的比较，可以看出复变函数的导数的定义条件要比数学分析中严苛许多。由于条件的强弱不同，就会带来性质上的天壤之别。

3.在无穷可微性方面，“复变函数”与“数学分析”有着惊人的区别。在“数学分析”中，若函数y=f（x）在一点c处可微，我们只能推出其导函数在点c是存在的，而我们无法确定其导函数在点c处是否连续，更无法确定其导函数在点c处是否仍可微。而对于复变函数w=f（z），若其在点z0处一次可微就可以推断其导函数在点z0处仍然可微，若重复下去，就可以推出复变函数w=f（z）点z0处无穷次可微，即任意阶导数都存在，这个性质明显比“数学分析”中要惊人的好。

4.函数可否泰勒展开的问题，也完全不同。在“数学分析”中，若实函数y=f（x）在点c处无穷次可微，我们就可以写出级数（x-c），但它未必等于函数y=f（x）在点c处的值f（c），或者说它未必就是函数y=f（x）在点c处的泰勒展开式。而“复变函数”中若w=f（z）点z0处无穷次可微，则此函数在点z0处一定可以泰勒展开：

综合上述讲解，已经可以让学生对“复变函数”中最重要的极限和微分概念有了直观的认识，它会一直存在于学生的记忆，进而成为学生探究式学习“复变函数”课程的动力。

四、总结

笔者针对学生有了前期的“数学分析”课程的学习后，对“复变函数”课程有可能存在各种学习问题，剖析了教师在“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节环节，探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排，并以实际经验展示了第一节课上如何进行“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京：高等教育出版社，2000

[2]余家荣.复变函数[M].第三版.北京：高等教育出版社.

[3]方企勤.复变函数教程[M].北京大学出版社.

[4]张南岳，陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京大学出版社，1985.

[5]谷群辉，郑洲顺，何勇，张先明.本科应用数学专业复变函数课程教学方法的改革与实践[J].数学理论与应用，2002，22（4）：23-25.endprint